אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
כללי
בכל שבוע יש תרגיל בית להגשה.
מומלץ מאוד להגיע להרצאות ולתרגולים.
יש הרצאות, תרגולים ותרגולים פעילים.
נוכחות בתרגולים הפעילים מהווה חלק מהציון.
חשוב לקבל משוב על הפתרונות שלנו וזה בעיקר בתרגולים הפעילים.
למידע נוסף כדאי לקרוא את קובץ “נהלי הקורס” במודל.
אלגברה לינארית נועדה להכליל את השיטות והמושגים של ההנדסה האנליטית.
נושאי לימוד
פרק 1 - אובייקטים קונקרטיים בהנדסה אנליטית
(2 מימדים, 3 מימדים, תיאור ע"י משוואות)פרק 2 - מרחבים וקטוריים (הכללה של מישור)
תלות לינארית
בסיספרק 3 - העתקות לינאריות
פרק 4 - דטרמיננטות
סקירת מושגים בסיסיים מתורת הקבוצות: (סימונים בסיסיים)
קבוצה - אוסף של איברים.
כל איבר או שייך או לא שייך לקבוצה ולא שניהם ביחד.
אם איבר \(a\) שייך לקבוצה \(S\) רושמים \(a\in S\). אחרת רושמים \(a\notin S\).
דרכים להגדיר קבוצה
1. ע”י רשימת האיברים \[S=\{1,5,7\}\]
2. ע”י קבוצה נתונה ותנאי (כך ש- ) \[\{x\in S\mid x>2\}=\{5,7\}\] דהיינו - כל \(x\) שב-\(S\) כך ש-\(x\) גדול מ-2.
3. ע”י קבוצה נתונה וביטוי מתמטי \[A=\{(x-3)^{2}\mid x\in S\}=\{4,16\}\] דהיינו - כל איבר מהצורה \((x-3)^{2}\) כך ש- \(x\in S\).
נשים לב שסדר הכתיבה משתנה בדוגמאות 2 ו-3 - זה קריטי.
הכלה
תהיינה \(S_{1},S_{2}\) קבוצות.
אומרים כי \(S_{1}\) מוכלת ב- \(S_{2}\) (או ש- \(S_{1}\) היא תת-קבוצה של \(S_{2}\))
ורושמים \(S_{1}\subseteq S_{2}\) כאשר כל אחד מהאיברים של \(S_{1}\) שייך ל- \(S_{2}\).
פעולות על קבוצות
איחוד של \(S_{1}\) ו- \(S_{2}\) מוגדר ע”י \[S_{1}\cup S_{2}=\{x\mid x\in S_{1}\lor x\in S_{2}\}\] נזכור ש- ”או” במתמטיקה הוא \(\text{Inclusive Or}\), דהיינו, או א’ או ב’ או שניהם.
חיתוך של \(S_{1}\) ו- \(S_{2}\) מוגדר ע”י \[S_{1}\cap S_{2}=\{x\mid x\in S_{1}\land x\in S_{2}\}\]
הפרש של \(S_{1}\) ו- \(S_{2}\) מוגדר ע”י \[S_{1}\setminus S_{2}=\{x\mid x\in S_{1}\land x\notin S_{2}\}\]
הקבוצה שלה לא שייך אף איבר נקראת הקבוצה הריקה ומסומנת ב- \(\emptyset\).
\[\emptyset=\{\}\]
קבוצות מספרים
קבוצת המספרים השלמים: \[\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}\]
קבוצת המספרים הטבעיים: \[\mathbb{N}=\{x\in\mathbb{Z}\mid x>0\}\] (יש מקומות בהם מגדירים \(x\ge0\) אך לא בקורס זה)
קבוצת המספרים הרציונליים: \[\mathbb{Q}=\left\{ \frac{m}{n}\mid m,n\in\mathbb{Z}\ ,\ n\neq0\right\}\]
קבוצת המספרים הממשיים: \(\mathbb{R}\)
לא נגדיר במדויק בקורס זה.
אפשר להבין אותה אינטואיטיבית כציר המספרים
\[\begin{array}{ccccc} \rule{2cm}{0.5pt} & | & \rule{1cm}{0.5pt} & | & \rule{4cm}{0.5pt}\\ & -1 & & 0 \end{array}\]
לכל מספר ממשי מתאימה נק’ על ציר המספרים.
לגבי ההרצאה בימי חמישי - בפועל לרוב לא תהיה הרצאה. רק במקרים מיוחדים כשיהיה צורך לשיעור השלמה. יודיעו על כך במודל. כדאי להסתכל גם איזה מרצה שלח את ההודעה כי כל המרצים יכולים לקבוע זאת.
\(n\)-יה סדורה
בקבוצה \(\mathbb{R}\) מוגדרות פעולות חיבור וכפל שמקיימות חוקים מוכרים.
יהי \(n\in\mathbb{N}\).
\(n\)-יה סדורה של מספרים ממשיים היא ביטוי מהצורה \(\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{pmatrix}\) כאשר \(a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{R}\).
בניגוד לקבוצות, ב-\(n\)-יה סדר האיברים חשוב.
לדוגמה: \(\{1,2\}=\{2,1\}\) אבל \(\begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}2\\ 1 \end{pmatrix}\).
בקבוצות לחזרות אין משמעות, ב-\(n\)-יה לחזרות יש משמעות.
לדוגמה: \(\{1,1\}=\{1\}\) אבל \(\begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix}\neq(1)\).
הקבוצה של כל ה-\(n\)-יות מסומנת ב- \(\mathbb{R}^{n}\)
כלומר \[\mathbb{R}^{n}=\left\{ \begin{pmatrix}a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{pmatrix}\,\middle|\,a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{R}\right\}\]
כאשר \(n=2\) מקבלים \[\mathbb{R}^{2}=\left\{ \begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix}\,\middle|\,a_{1},a_{2}\in\mathbb{R}\right\}\]
שזה למעשה המישור הקרטזי.
ב- \(\mathbb{R}^{n}\) מוגדרות הפעולות הבאות: (מקבעים את \(n\) היות ואי אפשר לחבר \(n\)-יות מסדר שונה.)
1) חיבור \[\begin{pmatrix}a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{1}\\ \vdots\\ b_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\ \vdots\\ a_{n}+b_{n} \end{pmatrix}\]
2) כפל של \(n\)-יה במספר (כפל בסקלר)
הסדר חשוב, כותבים את המספר בצד שמאל.
עבור \(c\in\mathbb{R}\) \[c\begin{pmatrix}a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ca_{1}\\ \vdots\\ ca_{n} \end{pmatrix}\]
משוואות לינאריות
יהי \(n\in\mathbb{N}\).
משוואה לינארית ב-\(n\) נעלמים היא משוואה מהצורה \[a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}=b\quad\quad\quad\qquad\qquad(I)\] כאשר \(x_{1},\dots,x_{n}\) הם הנעלמים ו- \(a_{1},\dots,a_{n},b\in\mathbb{R}\) הם המקדמים של המשוואה. \(b\) נקרא מקדם חופשי.
\(n\)-יה \(\begin{pmatrix}d_{1}\\ \vdots\\ d_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n}\) נקראת פתרון של המשוואה (I) כאשר \(a_{1}d_{1}+...+a_{n}d_{n}=b\).
דוגמה:
עם \(n=2\).
\(x_{1}-x_{2}=1\quad\quad\quad\qquad\qquad(II)\)
כאן \(a_{1}=1,a_{2}=-1,b=1\).
\(\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}\) הוא פתרון של (II) כי \(1-0=1\).
גם \(\begin{pmatrix}2\\ 1 \end{pmatrix}\) הוא פתרון של (II) כי \(2-1=1\).
\(\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}\) אינו פתרון של (II) כי \(0-1\neq1\)
עכשיו נסתכל על הקבוצה של כל הפתרונות של משוואה מסוימת.
קבוצת הפתרונות של (I) היא
\[\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n}\,\middle|\,a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}=b\right\}\]
דוגמה: \(x_{1}-x_{2}=1\quad(II)\)
קבוצת הפתרונות של (II) היא
\[\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2}\,\middle|\,x_{1}-x_{2}=1\right\}\]
\[=\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2}\,\middle|\,x_{1}=x_{2}+1\right\}\]
\[=\left\{ \begin{pmatrix}x_{2}+1\\ x_{2} \end{pmatrix}\,\middle|\,x_{2}\in\mathbb{R}\right\}\]
\[=\left\{ \begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_{2}\\ x_{2} \end{pmatrix}\,\middle|\,x_{2}\in\mathbb{R}\right\}\]
\[=\left\{ \begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}+x_{2}\begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix}\,\middle|\,x_{2}\in\mathbb{R}\right\}\]
הנוסחה האחרונה נקראת הצגה פרמטרית לקבוצת הפתרונות של המשוואה (II).