אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
תזכורת
התחלנו לדבר על משוואות לינאריות. בסוף השיעור הקודם ראינו דוגמה למשוואה לינארית וכתבנו את קבוצת הפתרונות שלה בהצגה פרמטרית.
\[(II)\quad x_{1}-x_{2}=1\]
קבוצת הפתרונות של (II) היא
\[\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2}\,\middle|\,x_{1}-x_{2}=1\right\}\]
\[=\left\{ \begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}+x_{2}\begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix}\,\middle|\,x_{2}\in\mathbb{R}\right\}\]
להצגה הפרמטרית יש גם משמעות גיאומטרית,
לוקחים את הנקודה \(\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}\). מעבירים דרכה ישר שמקביל לישר שעובר בראשית הצירים ובנקודה שמתאימה ל- \(x_{2}\begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix}\). כאן זה הישר הירוק. זה מייצג את קבוצת הפתרונות של המשוואה. זה למעשה \(y=x-1\). (זו רק דוגמה, זה לא קריטי להבין).
צורה כללית של הצגה פרמטרית
הצגה פרמטרית של קבוצת הפתרונות של משוואה לינארית ב- \(n\) נעלמים היא הצגה מהצורה:
\[\left\{ u_{0}+t_{1}u_{1}+\dots+t_{k}u_{k}\mid t_{1},\dots,t_{k}\in\mathbb{R}\right\}\]
כאשר \(k\in\mathbb{N}\cup\{0\}\) ו- \(u_{0},u_{1},\dots,u_{k}\in\mathbb{R}^{n}\).
דוגמה: בהצגה פרמטרית של קבוצת הפתרונות של (II): \(k=1\) , \(t_{1}=x_{2}\) , \(u_{1}=\begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix}\) , \(u_{0}=\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}\).
מערכות משוואות לינאריות
הגדרה - מערכת משוואות לינאריות (ממ”ל)
מערכת של \(m\) משוואות לינאריות ב- \(n\) נעלמים היא (נסמן את המבנה הבא ב- \((*)\))
\[\begin{cases} a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots\\ a_{m1}x_{1}+...+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{cases}\]
כאשר \(x_{1},\dots,x_{n}\) הם הנעלמים ו- \(a_{i,j},b_{i}\in\mathbb{R}\) המקדמים (ה-\(b\)-ים הם המקדמים החופשיים).
דוגמה: \(m=2,n=2\):
\[\begin{cases} x_{1}-x_{2}=1\\ x_{2}=2 \end{cases}\quad(III)\]
כאן מתקיים:
\(a_{11}=1\ ,\ a_{12}=-1\ ,\ a_{21}=0\),
\(a_{22}=1\ ,\ b_{1}=1\ ,\ b_{2}=2\)
פתרון של מערכת משוואות לינאריות (הגדרה)
\(n\)-יה \(\begin{pmatrix}d_{1}\\ \vdots\\ d_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n}\) נקראת פתרון של ממ”ל כאשר היא מהווה פתרון של כל אחת ממשוואות המערכת. לפיכך, הקבוצה של כל הפתרונות של המערכת היא החיתוך של קבוצת הפתרונות של משוואות המערכת.
למשל, עבור (III) , קבוצת הפתרונות היא \(\left\{ \begin{pmatrix}3\\ 2 \end{pmatrix}\right\}\).
מציאת הצגה פרמטרית עבור קבוצת הפתרונות של ממ”ל
המטרה: בהינתן ממ”ל, למצוא הצגה פרמטרית עבור קבוצת הפתרונות שלה.
הגדרה - מטריצה של ממ”ל
המטריצה של מערכת מהצורה \((*)\) מוגדרת להיות
\[\begin{pmatrix}a_{11} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & ... & a_{2n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}\]
הגדרה - מטריצה מורחבת של ממ”ל
המטריצה המורחבת של מערכת מהצורה \((*)\) מוגדרת להיות
\[\left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \dots & a_{1n} & b_{1}\\ a_{21} & \dots & a_{2n} & b_{2}\\ & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mn} & b_{m} \end{array}\right)\]
דוגמה: המטריצה המורחבת של הממ”ל (III) היא:
\[\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\]
כמות העמודות במטריצה מורחבת היא \(n+1\).
מטריצה מדורגת מצומצמת
הגדרה - האיבר המוביל
האיבר המוביל בשורה כלשהי של מטריצה, האיבר המוביל הוא האיבר השמאלי ביותר בשורה אשר שונה מ-0.
\[\left(\begin{array}{cc|c} \underline{1} & -1 & 1\\ 0 & \underline{1} & 2 \end{array}\right)\]
רק בשורה שכולה אפסים אין איבר מוביל.
יתכן שהאיבר המוביל יהיה בעמודה האחרונה (כלומר, מקדם חופשי).
מטריצה מדורגת מצומצמת
מטריצה נקראת מדורגת מצומצמת כאשר:
האיבר המוביל של כל שורה (במידה וקיים - שורה אפסים מתקבלת) שווה ל-1.
כל המספרים בעמודה של איבר מוביל של שורה כלשהי (חוץ ממנו) שווים ל-0.
אם בשורה כלשהי (חוץ מהשורה הראשונה) קיים איבר מוביל, אז גם בשורה שמעליה קיים איבר מוביל והוא נמצא בצד שמאל מהאיבר המוביל של השורה המקורית.
דוגמה: \[\left(\begin{array}{ccccc|c} 0 & 1 & -2 & 0 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\] (3 משוואות, 6 מקדמים). זו מטריצה מדורגת מצומצמת.
שורת סתירה
אם המטריצה המורחבת של ממ”ל כלשהי היא מדורגת מצומצמת וקיימת בה שורה שבה איבר מוביל בעמודה האחרונה, אז אחת המשוואות של המערכת היא: \[0x_{1}+\dots+0x_{n}=1\] ולמערכת אין פתרונות.
שורה כזאת (שורה עם איבר מוביל בעמודה האחרונה של מטריצה מורחבת מדורגת מצומצמת) נקראת שורת סתירה.
נעלמים קשורים וחופשיים
אחרת (אם למטריצה מורחבת מדורגת מצומצמת של ממ”ל אין שורת סתירה) למערכת יש פתרון:
אם המטריצה המורחבת של ממ”ל היא מדורגת מצומצמת ואין בה שורה עם איבר מוביל בעמודה האחרונה, נקרא לנעלמים המתאימים לעמודות עם איבר מוביל קשורים ולנעלמים המתאימים לעמודות בלי איבר מוביל חופשיים. נבטא את הנעלמים הקשורים דרך החופשיים ובצורה זו נקבל הצגה פרמטרית לקבוצת הפתרונות של הממ”ל.
דוגמה
\[\begin{cases} x_{2}-2x_{3}-x_{5}=3\\ x_{4}+2x_{5}=-1\\ 0=0 \end{cases}\]
המטריצה המתאימה: \[\left(\begin{array}{ccccc|c} 0 & 1 & -2 & 0 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\]
נעלמים קשורים: \(x_{2},x_{4}\)
נעלמים חופשיים: \(x_{1},x_{3},x_{5}\)
נבטא את הנעלמים הקשורים דרך החופשיים:
\[\begin{cases} x_{2}=3+2x_{3}+x_{5}\\ x_{4}=-1-2x_{5} \end{cases}\]
אז קבוצת הפתרונות היא:
\[\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\\ x_{5} \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{5}\,\middle|\,\begin{array}{l} x_{2}=3+2x_{3}+x_{5}\\ x_{4}=-1-2x_{5} \end{array}\right\}\]
\[=\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ 3+2x_{3}+x_{5}\\ x_{3}\\ -1-2x_{5}\\ x_{5} \end{pmatrix}\,\middle|\,x_{1},x_{3},x_{5}\in\mathbb{R}\right\}\]
\[=\left\{ \begin{pmatrix}0\\ 3\\ 0\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_{1}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ 2x_{3}\\ x_{3}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ x_{5}\\ 0\\ -2x_{5}\\ x_{5} \end{pmatrix}\,\middle|\,x_{1},x_{3},x_{5}\in\mathbb{R}\right\}\]
\[=\left\{ \underbrace{\begin{pmatrix}0\\ 3\\ 0\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}}_{u_{0}}+x_{1}\underbrace{\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}}_{u_{1}}+x_{3}\underbrace{\begin{pmatrix}0\\ 2\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}}_{u_{2}}+x_{5}\underbrace{\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}}_{u_{3}}\,\middle|\,x_{1},x_{3},x_{5}\in\mathbb{R}\right\}\]
\[t_{1}=x_{1},\ t_{2}=x_{3},\ t_{3}=x_{5},\ k=3\]