אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
תזכורת
ממ”ל עם מטריצה מורחבת \(\left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \dots & a_{1n} & b_{1}\\ \vdots & & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mn} & b_{m} \end{array}\right)\) נקראת הומוגנית כאשר \(b_{1}=\dots=b_{m}=0\).
לממ”ל הומוגנית ב-\(n\) נעלמים, \(\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n}\) הוא תמיד פתרון (הפתרון הטריוויאלי).
ננסה לסווג מתי הפתרון הטריוויאלי זה הפתרון היחיד של ממ”ל הומוגנית ומתי לא.
תכונה (חשובה) [שמירת ההומוגניות תחת שקילות שורה]
אם מטריצות מורחבות של שתי ממ”ל שקולות שורה, ואחת מהממ”ל האלה היא הומוגנית, אז גם הממ”ל השניה הומוגנית.
טענה [אפיון פתרון יחיד (טריוויאלי) לממ”ל הומוגנית - איבר מוביל בכל עמודה שאינה ההרחבה]
נתונה ממ”ל הומוגנית עם מטריצה מורחבת מדורגת מצומצמת.
אם בכל אחת מהעמודות של המטריצה המורחבת (חוץ מהעמודה הימנית) קיים איבר מוביל, אז כל אחד מהמשתנים הוא קשור, והפתרון הטריוויאלי הוא הפתרון היחיד של הממ”ל.
דוגמה: \[\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\]
\[\begin{cases} x_{1}=0\\ x_{2}=0\\ 0=0 \end{cases}\]
אחרת, כלומר אם קיימת עמודה של המטריצה המורחבת (שאינה העמודה הימנית) ובה אין איבר מוביל, אז הנעלם המתאים לעמודה הוא נעלם חופשי, ולכן למערכת יהיה גם פתרון לא טריוויאלי.
מסקנה (חשובה) [בממ”ל הומוגנית עם יותר נעלמים ממשוואות, יש פתרון לא-טריוויאלי]
נתונה ממ”ל הומוגנית שבה מספר המשוואות קטן ממספר הנעלמים, אז לממ”ל הזאת יהיה פתרון לא טריוויאלי (ולכן אינסוף פתרונות).
דוגמה: \[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\ 4 & 5 & 6 & 0 \end{array}\right)\]
עד כאן הדיון על ממ”ל הומוגניות. נלמד כעת על דרך נוספת לכתוב ממ”ל.
תכונה [שלוש האפשרויות לכמות הפתרונות]
באלגברה ליניארית (מעל שדות אינסופיים כמו המספרים הממשיים \(\mathbb{R}\)), למערכת משוואות ליניאריות יש בדיוק שלוש אפשרויות:
אין פתרון.
פתרון יחיד.
אינסוף פתרונות.
צירוף לינארי
תהיינה \(v_{1},\dots,v_{n}\in\mathbb{R}^{m}\), \(a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{R}\).
צירוף לינארי של \(v_{1},\dots,v_{n}\) עם מקדמים \(a_{1},\dots,a_{n}\) הוא \(a_{1}v_{1}+\dots+a_{n}v_{n}\in\mathbb{R}^{m}\).
כפל של מטריצה ב-\(n\)-יה
תהיינה \(v_{1},\dots,v_{n}\in\mathbb{R}^{m}\), \(a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{R}\).
תהי \(A\) מטריצה בגודל \(m\times n\) (כלומר \(m\) שורות ו- \(n\) עמודות). יהי \(d=\begin{pmatrix}d_{1}\\ \vdots\\ d_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n}\) (מוגדר רק כאשר זה אותו \(n\)).
נסמן את העמודות של \(A\) ב- \(C_{1}^{A},\dots,C_{n}^{A}\) (מלשון \(\text{Column}\)) (נשים לב שכל אחת מהן היא \(m\)-יה סדורה).
נגדיר \(Ad=d_{1}C_{1}^{A}+\dots+d_{n}C_{n}^{A}\in\mathbb{R}^{m}\).
אם \(A=\begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\
\vdots & & \vdots\\
a_{m1} & \dots & a_{mn}
\end{pmatrix}\) אז
\[Ad=\begin{pmatrix}d_{1}a_{11}+\dots+d_{n}a_{1n}\\ \vdots\\ d_{1}a_{m1}+\dots+d_{n}a_{mn} \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{m}\]
תהי \(b=\begin{pmatrix}b_{1}\\ \vdots\\ b_{m} \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{m}\). כדי ש- \(d=\begin{pmatrix}d_{1}\\ \vdots\\ d_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n}\) תהיה פתרון של ממ”ל עם מטריצה מורחבת \((A|b)\) צריך להתקיים
\[\begin{cases} a_{11}d_{1}+\dots+a_{1n}d_{n}=b_{1}\\ \vdots\\ a_{m1}d_{1}+\dots+a_{mn}d_{n}=b_{m} \end{cases}\]
כלומר \(Ad=b\).
לכן ניתן לכתוב את הממ”ל עם המטריצה המורחבת \((A|b)\) באופן הבא: \(Ax=b\) כאשר \(x=\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}\) הוא ה-\(n\)-ית הנעלמים.
כפל של מטריצה ב-\(n\)-יה זה כמו אקורדיון.
תכונות של כפל מטריצה ב-\(n\)-יה
1) לכל מטריצה בגודל \(m\times n\): \[A\begin{pmatrix}0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}\] (נשים לב: ה-\(\vec{0}\) השמאלי ב-\(\mathbb{R}^{n}\), הימני ב-\(\mathbb{R}^{m}\)).
2) לכל מטריצה בגודל \(m\times n\) ולכל \(d,h\in\mathbb{R}^{n}\): \[A(d+h)=Ad+Ah\]
3) לכל מטריצה בגודל \(m\times n\) ולכל \(c\in\mathbb{R},d\in\mathbb{R}^{n}\): \[A(cd)=c(Ad)\]
4) לכל \(d\in\mathbb{R}^{n}\), אם \(A\) היא מטריצה בגודל \(m\times n\) כך שהשורה ה-\(i\) של \(A\) היא שורת אפסים אז הקואורדינאטה ה-\(i\) של \(Ad\) היא 0.
5) נסמן \(e_{i}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n}\) (ה-1 במקום ה-\(i\)). לדוגמה: \(e_{2}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\). זה וקטור היחידה הסטנדרטי.
\(Ae_{i}=C_{i}^{A}\). כלומר מטריצה \(A\) כפול \(e_{i}\) שווה לעמודה ה-\(i\) של \(A\).
6) נסמן ב-\(I_{n}\) את המטריצה בגודל \(n\times n\) כך שהעמודה ה-\(i\) שלה היא \(e_{i}\). לדוגמה \(n=3\): \[I_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] \(I_{n}\) נקראת מטריצת היחידה.
\[I_{n}=\Big[e_{1}\ \big|\ e_{2}\ \big|\ \dots\ \big|\ e_{n}\Big]\]
לכל \(d=\begin{pmatrix}d_{1}\\ \vdots\\ d_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n}\):
\[I_{n}d=d_{1}e_{1}+\dots+d_{n}e_{n}=\begin{pmatrix}d_{1}\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ d_{2}\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}+\dots+\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0\\ d_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d_{1}\\ d_{2}\\ \vdots\\ d_{n} \end{pmatrix}=d\]
וסיימנו את הפרק הראשון של הקורס.
הקדמה לפרק השני: נגדיר מושגים יותר מופשטים בצורה פחות מפורשת בעזרת התכונות שלהם (בעזרת אקסיומות). נלמד על שדות.