הרצאה 5 - 03.11.2025

שדות

קבוצה \(\mathbb{F}\) נקראת שדה כאשר ב-\(\mathbb{F}\) מוגדרות פעולות חיבור (\(+\)) וכפל (\(\cdot\)) אשר לכל זוג איברים מ-\(\mathbb{F}\) מתאימות איבר מ-\(\mathbb{F}\) כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:
1) \[\forall a,b\in\mathbb{F},\ a+b=b+a\]

2) \[\forall a,b,c\in\mathbb{F},\ (a+b)+c=a+(b+c)\]

3) \[\exists0_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F},\forall a\in\mathbb{F},\ a+0_{\mathbb{F}}=a\]

4) \[\forall a\in\mathbb{F},\exists-a\in\mathbb{F},\ a+(-a)=0_{\mathbb{F}}\]

5) \[\forall a,b\in\mathbb{F},\ ab=ba\]

6) \[\forall a,b,c\in\mathbb{F},\ (ab)c=a(bc)\]

7) \[\exists1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F},\ 1_{\mathbb{F}}\neq0_{\mathbb{F}},\forall a\in\mathbb{F},\ a\cdot1_{\mathbb{F}}=a\]

8) \[\forall_{0\neq a\in\mathbb{F}},\exists_{\frac{1}{a}\in\mathbb{F}},\ a\cdot(\frac{1}{a})=1_{\mathbb{F}}\]

9) \[\forall_{a,b,c\in\mathbb{F}},\ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\]

דוגמאות

1. \(\mathbb{R}\) שדה של מספרים ממשיים עם חיבור וכפל.

2. \(\mathbb{C}\) שדה של מספרים מרוכבים עם חיבור וכפל.

3. \(\mathbb{Q}\) שדה של מספרים רציונליים עם חיבור וכפל. \(\mathbb{Q}=\left\{ \frac{a}{b}\,\middle|\,a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{N}\right\}\)

4. \(\mathbb{N},\mathbb{Z}\) לא מהווים שדה עם חיבור וכפל.

5. \(\mathbb{F}_{2}=\{0,1\}\) שדה עם חיבור וכפל ב-\(\mathbb{F}_{2}\) שנגדיר באופן הבא:

תכונות של שדות

(תכונות שנובעות מהאקסיומות)
1) יחידות האיבר הנייטרלי ביחס לחיבור

אם \(z\in\mathbb{F}\) כך ש- \(\forall a\in\mathbb{F},a+z=a\) אז \(z=0_{\mathbb{F}}\) (יש נייטרלי יחיד ביחס לחיבור).

הוכחה: \[z\underset{\text{axiom 3}}{=}z+0_{\mathbb{F}}\underset{\text{axiom 1}}{=}0_{\mathbb{F}}+z\underset{\text{given}}{=}0_{\mathbb{F}}\]

2) יחידות האיבר הנגדי

אם \(a,b\in\mathbb{F}\) כך ש- \(a+b=0_{\mathbb{F}}\), אז \(b=-a\).

הוכחה:

\[-a\underset{\text{axiom 3}}{=}(-a)+0_{\mathbb{F}}\underset{\text{axiom 1}}{=}0_{\mathbb{F}}+(-a)\underset{\text{given}}{=}(a+b)+(-a)\]

\[\underset{\text{axiom 1}}{=}(b+a)+(-a)\underset{\text{axiom 2}}{=}b+(a+(-a))\underset{\text{axiom 4}}{=}b+0_{\mathbb{F}}\underset{\text{axiom 3}}{=}b\]

ובסה”כ קיבלנו \(b=-a\).
3) אם \(a\in\mathbb{F}\) כך ש- \(a+a=a\), אז \(a=0_{\mathbb{F}}\).

הוכחה:

\[0_{\mathbb{F}}\underset{\text{axiom 4}}{=}a+(-a)\underset{\text{given}}{=}(a+a)+(-a)\underset{\text{axiom 2}}{=}a+(a+(-a))\underset{\text{axiom 4}}{=}a+0_{\mathbb{F}}\underset{\text{axiom 3}}{=}a\]

ובסה”כ קיבלנו \(0_{\mathbb{F}}=a\) ולכן לפי אקסיומה 1, \(a=0_{\mathbb{F}}\).
4) \(\forall a\in\mathbb{F},\ a\cdot0_{\mathbb{F}}=0_{\mathbb{F}}\)

הוכחה:

\[a\cdot0_{\mathbb{F}}\underset{\text{axiom 3}}{=}a\cdot(0_{\mathbb{F}}+0_{\mathbb{F}})\underset{\text{axiom 9}}{=}a\cdot0_{\mathbb{F}}+a\cdot0_{\mathbb{F}}\]

קיבלנו שלאיבר \(x=a\cdot0_{\mathbb{F}}\) מתקיים \(x=x+x\). לפי תכונה 3 שהוכחנו לעיל, מתקיים:

\[a\cdot0_{\mathbb{F}}=0_{\mathbb{F}}\]

מרחבים וקטוריים

הבחנה: כל מה שלמדנו על ממ”ל תקף כאשר במקום מספרים ממשיים משתמשים באיברים משדה כלשהו.
בפרט, בהינתן שדה \(\mathbb{F}\) ניתן להגדיר

\[\mathbb{F}^{n}=\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}\,\middle|\,x_{1},\dots,x_{n}\in\mathbb{F}\right\}\]

בדומה ל-\(\mathbb{R}^{n}\), ב-\(\mathbb{F}^{n}\) מוגדרות פעולות של חיבור וכפל בסקלר מ-\(\mathbb{F}\).

הגדרה - מרחב וקטורי (מ”ו)

יהי \(\mathbb{F}\) שדה.

קבוצה \(V\) נקראת מרחב וקטורי מעל \(\mathbb{F}\) כאשר ב-\(V\) מוגדרות:

1. פעולת חיבור אשר לכל זוג איברים מ-\(V\) מתאימה איבר כלשהו מ-\(V\).

2. פעולת כפל בסקלר אשר לכל איבר מ-\(V\) ולכל סקלר מ-\(\mathbb{F}\) מתאימה איבר כלשהו מ-\(V\).

כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:

1. \[\forall_{u,v\in V}\quad u+v=v+u\]

2. \[\forall_{u,v,w\in V}\quad(u+v)+w=u+(v+w)\]

3. \[\exists_{0_{V}\in V}\quad\forall_{v\in V}\quad v+0_{V}=v\]

4. \[\forall_{v\in V}\quad\exists_{(-v)\in V}\quad v+(-v)=0_{V}\]

5. \[\exists_{1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F}}:\forall_{v\in V},\quad1_{\mathbb{F}}\cdot v=v\]

6. \[\forall_{v\in V},\forall_{a,b\in\mathbb{F}},\ (ab)v=a(bv)\]

7. \[\forall_{v\in V}\quad\forall_{a,b\in\mathbb{F}}\quad(a+b)v=av+bv\]

8. \[\forall_{u,v\in V}\quad\forall_{a\in\mathbb{F}}\quad a(u+v)=au+av\]

לאיברים של \(\mathbb{F}\) נקרא סקלרים ולאיברים של \(V\) נקרא וקטורים.