אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
דוגמאות למרחבים וקטוריים
יהי \(\mathbb{F}\) שדה.
1) המרחב הוקטורי של קבוצת ה-\(n\)-יות משדה \(\mathbb{F}\). זהו המרחב הוקטורי שמעליו פותרים ממ”ל.
\[\mathbb{F}^{n}=\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}\,\middle|\,x_{1},\dots,x_{n}\in\mathbb{F}\right\}\]
2) המרחב הוקטורי של המטריצות בעלות \(m\) שורות ו-\(n\) עמודות, שאיבריהן נמצאים ב-\(\mathbb{F}\). זהו המרחב הוקטורי המגדיר פעולות על מטריצות.
עבור \(m,n\in\mathbb{N}\)
\[M_{m\times n}(\mathbb{F})=\left\{ \begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\,\middle|\,\forall_{1\le i\le m}\quad\forall_{1\le j\le n}\quad a_{ij}\in\mathbb{F}\right\}\]
פעולות ב-\(M_{m\times n}(\mathbb{F})\) מוגדרות ע”י:
\[\begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{11} & \dots & b_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ b_{m1} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix}=\] \[\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11} & \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1}+b_{m1} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix}\]
לכל \(c\in\mathbb{F}\) \[c\begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\
\vdots & & \vdots\\
a_{m1} & \dots & a_{mn}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ca_{11} & \dots & ca_{1n}\\
\vdots & & \vdots\\
ca_{m1} & \dots & ca_{mn}
\end{pmatrix}\]
בפועל הדוגמה הראשונה היא מקרה פרטי של הדוגמה השניה כי \(n\)-יה זו מטריצה עם עמודה 1 ו-\(n\) שורות.
3. המרחב הוקטורי של קבוצת הסדרות האינסופיות משדה \(\mathbb{F}\). זהו המ”ו של ה-\(n\)-יות עבור \(n=\infty\).
\[\mathbb{F}^{\mathbb{N}}=\left\{ (x_{1},x_{2},\dots)\mid\forall_{i\in\mathbb{N}}\ (x_{i}\in\mathbb{F})\right\}\] פעולות מוגדרות ע”י:
\[(x_{1},x_{2},\dots)+(y_{1},y_{2},\dots)=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots)\]
\[c(x_{1},x_{2},\dots)=(cx_{1},cx_{2},\dots)\]
4) המרחב הוקטורי של כל הפולינומים מעל שדה \(\mathbb{F}\) והמ”ו של כל הפולינומים ממעלה קטנה או שווה ל-\(n\) מעל שדה \(\mathbb{F}\).
בהינתן פולינום \(P=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}\) עם \(a_{n}\neq0_{\mathbb{F}}\),
\(a_{n},\dots,a_{0}\) נקראים המקדמים של הפולינום ו-\(n\) נקרא המעלה של הפולינום. רושמים \(\deg P=n\). בנוסף מגדירים \(\deg0_{\mathbb{F}}=-\infty\).
המ”ו של כל הפולינומים:
\[\mathbb{F}[x]=\left\{ a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}\,\middle|\,n\in\mathbb{N}\cup\{0\},\ a_{0},\dots,a_{n}\in\mathbb{F},a_{n}\ne0_{\mathbb{F}}\right\} \cup\{0_{\mathbb{F}}\}\]
המ”ו של כל הפולינומים ממעלה קטנה או שווה ל-\(n\):
\[\mathbb{F}[x]_{\le n}=\left\{ a_{n}x^{n}+\dots+a_{1}x+a_{0}\,\middle|\,a_{0},a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{F}\right\}\]
\(\mathbb{F}[x]_{\le n}\) הוא תמ”ו של \(\mathbb{F}[x]\), נלמד בהמשך מה זה אומר.
פעולות ב-\(\mathbb{F}[x]\) מוגדרות באופן הבא:
חיבור של פולינומים:
\[(a_{n}x^{n}+\dots+a_{1}x+a_{0})+(b_{m}x^{m}+\dots+b_{1}x+b_{0})\] \[=(a_{k}+b_{k})x^{k}+\dots+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0})\]
כאשר \(k=\max(m,n)\). עבור \(i>n\) מניחים \(a_{i}=0\). עבור \(j>m\) מניחים \(b_{j}=0\).
הערה: במידה ויצא \(a_{k}+b_{k}=0\) מוחקים את המחובר \((a_{k}+b_{k})x^{k}\) וכן הלאה, כלומר מעלת הפולינום עשויה לרדת.
דוגמאות לחיבור פולינומים: \[(2x^{2}+3x+4)+(5x+6)=2x^{2}+8x+10\] \[(3x+4)+(-3x+5)=9\]
כפל בסקלר של פולינומים:
\[c(a_{n}x^{n}+\dots+a_{1}x+a_{0})=\] \[(ca_{n}x^{n}+\dots+ca_{1}x+ca_{0})\]
\[0(a_{n}x^{n}+\dots+a_{1}x+a_{0})=0\]
נשים לב: קבוצת הפולינומים שהם רק מדרגה \(n\) היא בד”כ אינה מ”ו, שכן היא לא סגורה לחיבור.
למשל, האם קבוצת הפולינומים הממשיים מדרגה 2,
\(\mathbb{R}[2]=\left\{ a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}|a_{2},a_{1},a_{0}\in\mathbb{R},a_{2}\neq0_{\mathbb{\mathbb{R}}}\right\} \cup\{0_{\mathbb{\mathbb{R}}}\}\), היא מ“ו?
לא, כי היא לא סגורה לחיבור. למשל, \(x^{2}\in\mathbb{R}[2]\wedge-x^{2}+5x\in\mathbb{R}[2]\) אבל
\(x^{2}+(-x^{2}+5x)=5x\notin\mathbb{R}[2]\). אבל אפשר לתקן את זה:
קבוצת הפולינומים הממשיים עד דרגה 2 היא כן מ”ו:
\(P_{2}(\mathbb{R})=\left\{ a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}|a_{0},a_{1},a_{2}\in\mathbb{R}\right\}\).
ההגדרה של קבוצת הפולינומים שמעלתם היא בדיוק \(n\):
\[\mathbb{F}[x]_{=n}=\left\{ a_{n}x^{n}+\dots+a_{1}x+a_{0}\,\middle|\,a_{n},\dots,a_{0}\in\mathbb{F},a_{n}\neq0_{\mathbb{F}}\right\}\]
5. הדוגמה הכי חשובה - המרחב הוקטורי של הפונקציות מקבוצה לשדה.
תהי \(S\) קבוצה כלשהי.פונקציה מ-\(S\) לשדה \(\mathbb{F}\) היא התאמה שלכל איבר של \(S\) מתאימה איבר (יחיד) מ-\(\mathbb{F}\).
כאשר \(f\) היא פונקציה מ-\(S\) ל-\(\mathbb{F}\) רושמים \(f:S\to\mathbb{F}\).
נסתכל על המרחב הוקטורי: \[\mathbb{F}^{S}=\{f:S\to\mathbb{F}\mid f\text{ is a function}\}\]
פעולות ב-\(\mathbb{F}^{S}\) מוגדרות באופן הבא:
אם \(f,g:S\to\mathbb{F}\) נגדיר \(f+g:S\to\mathbb{F}\) ע”י \[\forall s\in S,\ (f+g)(s)=f(s)+g(s)\]
אם \(f:S\to\mathbb{F},\ c\in\mathbb{F}\) נגדיר \(c\cdot f:S\to\mathbb{F}\) ע”י \[\forall s\in S,\ (cf)(s)=c\cdot f(s)\]
תכונות של מרחבים וקטוריים
יהי \(\mathbb{F}\) שדה. יהי \(V\) מרחב וקטורי (מ”ו) מעל \(\mathbb{F}\).
אם \(w\in V\) כך ש- \(\forall u\in V,u+w=u\) אז \(w=0_{V}\).
אם \(v,w\in V\) כך ש- \(v+w=0_{V}\), אז \(w=-v\).
אם \(v\in V\) כך ש- \(v+v=v\), אז \(v=0_{V}\).
\(\forall v\in V,\ 0_{\mathbb{F}}\cdot v=0_{V}\)
\(\forall a\in\mathbb{F},\ a\cdot0_{V}=0_{V}\)
\(\forall v\in V,\ (-1_{\mathbb{F}})\cdot v=-v\)
כאשר \(-1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F}\) הוא הנגדי של \(1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F}\). כלומר \(1_{\mathbb{F}}+(-1_{\mathbb{F}})=0_{\mathbb{F}}\). (למשל, אם \(\mathbb{F}=\{0,1\}\) אז \(-1_{\mathbb{F}}=1_{\mathbb{F}}\)).
הוכחה: (לטענה 6)
יהי \(v\in V\). \[v+(-1_{\mathbb{F}})v\underset{\text{axiom 5 }}{=}1_{\mathbb{F}}\cdot v+(-1_{\mathbb{F}})v\underset{\text{axiom 7}}{=}(1_{\mathbb{F}}+(-1_{\mathbb{F}}))v\underset{\text{axiom 4}}{=}0_{\mathbb{F}}\cdot v\underset{\text{Property 4}}{=}0_{V}\]
לפי תכונה 2 מתקיים \((-1_{\mathbb{F}})v=-v\).
תת-מרחב וקטורי (תמ”ו)
יהי \(\mathbb{F}\) שדה. יהי \(V\) מרחב וקטורי מעל \(\mathbb{F}\).
תהי \(U\) תת-קבוצה של \(V\), כלומר \(U\subseteq V\).
\(U\) נקרא תת-מרחב של \(V\) כאשר מתקיימים התנאים הבאים (מכך שזו תת-קבוצה של מ”ו ברגע שמוודאים את שלושת התנאים הללו אפשר לדעת שזה גם מ”ו ובהתאם מקיים את כל האקסיומות של מ”ו):
\(0_{V}\in U\)
אם \(u,w\in U\) אז \(u+w\in U\) (סגירות ביחס לחיבור)
אם \(u\in U\) ו- \(c\in\mathbb{F}\) אז \(cu\in U\) (סגירות ביחס לכפל בסקלר)
הבחנה: אם \(U\) הוא תת-מרחב של \(V\), אז \(U\) הוא גם מרחב וקטורי מעל \(\mathbb{F}\).