אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
בשיעור הקודם התחלנו לדבר על מרחבים וקטוריים. ראינו דוגמאות של מרחבים וקטוריים שונים וגם הגדרנו תמ”ו.
ראינו שכל תמ”ו הוא בעצמו מ”ו.
דוגמאות לתת-מרחבים וקטוריים
דוגמה 1: יהי \(V=\mathbb{F}^{n}\) (\(n\)-יות עם קואורדינאטות מ-\(\mathbb{F}\)) מ”ו מעל שדה \(\mathbb{F}\). נגדיר: \[U=\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}\,\middle|\,x_{n}=0_{\mathbb{F}}\right\}\]
(למשל, אם \(V=\mathbb{R}^{2}\) אז \(U\) זה ציר ה-\(x\))
נוודא שהדרישות של תת-מרחב מתקיימות:
1) כאשר \(V=\mathbb{F}^{n}\), וקטור האפס הוא \(0_{V}=\begin{pmatrix}0_{\mathbb{F}}\\ \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} \end{pmatrix}\). \(\begin{pmatrix}0_{\mathbb{F}}\\ \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} \end{pmatrix}\) בפרט מקיים \(x_{n}=0_{\mathbb{F}}\) לכן \(0_{V}\in U\).
2) יהיו \(\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n} \end{pmatrix}\in U\), אז \(x_{n}=y_{n}=0_{\mathbb{F}}\). מכאן \(x_{n}+y_{n}=0_{\mathbb{F}}+0_{\mathbb{F}}=0_{\mathbb{F}}\) לכן: \[\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\ \vdots\\ x_{n}+y_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\ \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} \end{pmatrix}\in U\]
3) יהיו \(\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}\in U\) ו- \(c\in\mathbb{F}\). אז \(x_{n}=0_{\mathbb{F}}\). מכאן \(cx_{n}=0_{\mathbb{F}}\). \[c\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cx_{1}\\ \vdots\\ cx_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cx_{1}\\ \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} \end{pmatrix}\in U\]
דוגמה 2: \(V=\mathbb{F}[x]\) (מרחב הפולינומים), \(n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\), \[U=\{P\in\mathbb{F}[x]\mid\deg P\le n\}=\mathbb{F}[x]_{\le n}\] (כל הפולינומים שהמעלה שלהם קטנה או שווה ל-\(n\)).
נוודא שהדרישות של תת-מרחב מתקיימות:
1) \(0_{\mathbb{F}}\in U\) כי \(\deg0_{\mathbb{F}}=-\infty\le n\).
2) יהיו \(P,Q\in U\). אז \(\deg P,\deg Q\le n\). \[\deg(P+Q)\le\max(\deg(P),\deg(Q))\le n\] לכן \(P+Q\in U\).
3) יהי \(P\in U,c\in\mathbb{F}\). אז \(\deg(P)\le n\). מכאן: \[\deg(cP)\le\deg(P)\le n\] (שווה כש- \(c\ne0_{\mathbb{F}}\) וקטנה כש- \(c=0_{\mathbb{F}}\)). לכן \(cP\in U\).
אנטי דוגמאות
דוגמה לתת-קבוצה שהיא לא תת-מרחב: \(\emptyset\). כי הרי \(0_{V}\notin\emptyset\).
\(V=\mathbb{R}^{2}\) מעל שדה \(\mathbb{R}\), \(U=\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2}\;\middle|\;x_{2}\ge0\right\}\). (המחשה: כל ציר ה-\(x\) ו"מעליו" בציר ה-\(y\)). הדרישה הראשונה והשנייה מתקיימות, אבל השלישית לא: \(U\) אינה סגורה ביחס לכפל בסקלר. כי למשל \(\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}\in U,c=-1\in\mathbb{R}\), אבל: \(-1\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ -1 \end{pmatrix}\notin U\).
\(V=\mathbb{R}^{2}\) מ"ו מעל \(\mathbb{R}\), \(U=\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2}\;\middle|\;x_{1}x_{2}=0\right\}\). (המחשה: כל ציר ה-\(x\) וכל ציר ה-\(y\)). הדרישות הראשונה והשלישית מתקיימות, אבל השנייה לא: \(U\) אינה סגורה ביחס לחיבור כי למשל \(\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}\in U\) אבל \(\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix}\notin U\) (שכן \(1\cdot1=1\ne0\)).
\(n\in\mathbb{N},V=\mathbb{F}[x]\). \[U=\mathbb{F}[x]_{=n}\cup\{0_{\mathbb{F}}\}=\{P\in\mathbb{F}[x]\mid\deg P=n\}\cup\{0_{\mathbb{F}}\}\] \(U\) אינה סגורה ביחס לחיבור כי למשל: \[x^{n}+1\in U,-x^{n}\in U,(x^{n}+1)+(-x^{n})=1\notin U\] כי \(\deg1=0\ne n\).
טרמינולוגיה
איברים של שדה - סקלרים. איברים של מ"ו - וקטורים. שזה (מ"ו) רק קבוצה עם 2 פעולות (חיבור וכפל בסקלר) שמקיימות את ה-8 אקסיומות שראינו. אנחנו מדברים באופן מופשט לרוב ולאו דווקא יודעים איך האיברים נראים.
הגדרה - צירוף ליניארי (צ”ל)
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\) ויהיו \(v_{1},\dots,v_{n}\in V\), \(c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\). צירוף ליניארי של \(v_{1},\dots,v_{n}\) עם מקדמים \(c_{1},\dots,c_{n}\) מוגדר ע"י \[\sum_{i=1}^{n}c_{i}v_{i}=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\in V\]
תכונה (של תמ”ו) [סגירות ביחס לצ”ל]
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), \(U\) תמ”ו של \(V\). אז כל צירוף לינארי של וקטורים מ-\(U\) שייך ל-\(U\).
כלומר, \(U\) סגור לכל צירוף ליניארי של וקטורים מ-\(U\).
הוכחה
יהיו \(u_{1},\dots,u_{n}\in U\) ויהיו \(c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\).
מאחר ש-\(U\) סגור לכפל בסקלר לכל \(1\le i\le n\) מתקיים \(c_{i}u_{i}\in U\).
מאחר ש-\(U\) סגור ביחס לחיבור מתקיים \(c_{1}u_{1}+\dots+c_{n}u_{n}\in U\) וסיימנו.
טענה [חיתוך תת-מרחבים הוא תמ”ו]
יהי \(V\) מ"ו מעל שדה \(\mathbb{F}\). אם \(U,W\) תת-מרחבים של \(V\), אז \(U\cap W\) גם הוא תת-מרחב של \(V\).
הוכחה
\(0_{V}\in U\cap W\) כי \(0_{V}\in U\) וגם \(0_{V}\in W\) (מהיותם תת-מרחבים).
יהיו \(v_{1},v_{2}\in U\cap W\) אז \(v_{1},v_{2}\in U\) וגם \(v_{1},v_{2}\in W\). מאחר ש-\(U\) סגור ביחס לחיבור, \(v_{1}+v_{2}\in U\). מאחר ש-\(W\) סגור ביחס לחיבור, \(v_{1}+v_{2}\in W\) ולכן \(v_{1}+v_{2}\in U\cap W\).
יהיו \(v_{1}\in U\cap W,c\in\mathbb{F}\). אז \(v_{1}\in U\) וגם \(v_{1}\in W\). מאחר ש-\(U\) סגור ביחס לכפל בסקלר, \(cv_{1}\in U\). באותו אופן, \(cv_{1}\in W\). לכן \(cv_{1}\in U\cap W\).
וסיימנו.
מטענה זו אפשר להסיק שאפשר לעשות כמה חיתוכים שנרצה ועדיין נקבל תת-מרחב.
מסקנה
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\). אז החיתוך של כל אוסף (אפילו אינסופי) של תת-מרחבים של \(V\) הוא תת-מרחב של \(V\).
טענה [קב’ הפתרונות של ממ”ל הומוגנית היא תמ”ו]
יהי \(\mathbb{F}\) שדה, יהיו \(m,n\in\mathbb{N}\), ותהי \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\) (מטריצה עם \(m\) שורות ו-\(n\) עמודות עם מקדמים משדה \(\mathbb{F}\)).
נגדיר \[U=\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}\middle|\:A\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\right\} =\text{Null}(A)\]
זו קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות הומוגנית עם מטריצה \(A\).
כלומר, קבוצת כל הפתרונות של ממ”ל הומוגנית שהמטריצה הלא מורחבת שלה היא \(A\).
מסמנים את הקבוצה הזאת ב- \(\text{Null}(A)\).
אז \(\text{Null}(A)\) תמ”ו של \(\mathbb{F}^{n}\).
תזכורת
לכתוב ש- \(\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}\) זה פתרון של \((A|b)\) זה אותו דבר כמו לכתוב \(A\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}=b\)
הוכחה
\(\begin{pmatrix}0_{\mathbb{F}}\\ \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} \end{pmatrix}\in U\) כי \(A\begin{pmatrix}0_{\mathbb{F}}\\ \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0_{\mathbb{F}}\\ \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} \end{pmatrix}\) .
אם \(d,h\in U\) אז \[Ad=Ah=\begin{pmatrix}0_{\mathbb{F}}\\ \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} \end{pmatrix}\] מכאן \[A(d+h)=Ad+Ah=\begin{pmatrix}0_{\mathbb{F}}\\ \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0_{\mathbb{F}}\\ \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0_{\mathbb{F}}\\ \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} \end{pmatrix}\] לכן \(d+h\in U\).
אם \(d\in U,c\in\mathbb{F}\) אז \[Ad=\begin{pmatrix}0_{\mathbb{F}}\\ \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} \end{pmatrix}\] נשים לב (לפי תכונות כפל מטריצה בסקלר) \[A(cd)=c(Ad)=c\cdot\begin{pmatrix}0_{\mathbb{F}}\\ \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0_{\mathbb{F}}\\ \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} \end{pmatrix}\] לכן \(cd\in U\)
\(\square\)