אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
דוגמאות לטענה האחרונה שראינו [שקב’ הפתרונות של ממ”ל הומוגנית היא תמ”ו]
ניזכר בטענה: יהי \(\mathbb{F}\) שדה, יהיו \(m,n\in\mathbb{N}\), ותהי \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\).
אז \[U=\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}\middle|\:A\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\right\} =\text{Null}(A)\]
(קבוצת הפתרונות של ממ”ל הומוגנית עם מטריצה לא מורחבת \(A\)) תמ”ו של \(\mathbb{F}^{n}\).
דוגמה 1: \(A=(0\dots0\:1)\in M_{1\times n}(\mathbb{F}),\quad m=1\). אז \[U=\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}\middle|\:x_{n}=0\right\}\]
תמ”ו.
דוגמה 2: \(m=n\in\mathbb{N}\), \(A=I_{n}=\begin{pmatrix}1 & 0 & \dots & 0\\
0 & 1 & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \dots & 1
\end{pmatrix}\). אז
\[\begin{aligned} U & =\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}\;\middle|\;I_{n}\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\right\} \\ & =\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}\;\middle|\;\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\right\} \\ & =\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}\;\middle|\;\begin{cases} x_{1}=0\\ \vdots\\ x_{n}=0 \end{cases}\right\} =\left\{ \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\right\} \end{aligned}\]
תמ”ו.
לגבי הקבוצה שקיבלנו - מסתדר עם מה שאנחנו יודעים על ממ”ל הומוגניות... (אפיון פתרון יחיד (טריוויאלי)...)
דוגמה 3: \(A=(0\dots0)\in M_{1\times n}(\mathbb{F}),\quad m=1\). אז \[U=\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}\;\middle|\;(0\dots0)\begin{pmatrix}x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{pmatrix}=\underset{\begin{array}{c}
\textcolor{green}{\downarrow}\\
\textcolor{green}{(*)}
\end{array}}{0}\right\}\]
\((*)\) \(m\)-יה
תמ”ו.
הערה: התופעה שבדוגמאות 2 ו-3 מתקיימת בכל מרחב וקטורי, כלומר לכל מ”ו \(V\) מתקיים ש- \(\underset{\begin{array}{c}
\textcolor{green}{\downarrow}\\
\textcolor{green}{(***)}
\end{array}}{V},\underset{\begin{array}{c}
\textcolor{green}{\downarrow}\\
\textcolor{green}{(**)}
\end{array}}{\{0_{V}\}}\) הם תמ”ו של \(V\).
\((**)\) התמ”ו “הכי קטן” של \(V\)
\((***)\) התמ”ו “הכי גדול” של \(V\)
הערה: למעשה כל תת-מרחב של \(\mathbb{F}^{n}\) ניתן לתאר כמו בטענה, כלומר לכל תת-מרחב \(U\) של \(\mathbb{F}^{n}\) קיימים \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F}),\quad m\in\mathbb{N}\) כך ש- \(U=\text{Null}(A)\). (לא נוכיח את זה בשלב זה). דהיינו, תמיד אפשר למצוא ממ”ל הומוגנית שאוסף הפתרונות שלה הוא התמ”ו.
פרוש - \(\text{Span }\)
תיאור במילים
נראה איך מקבוצה שהיא לא תמ”ו אנחנו יכולים “ליצור” תמ”ו.
כלומר למצוא תמ”ו שמכיל את הקבוצה ושיהיה “קטן ככל הניתן”.
אז גם קודם כל וקטור אפס צריך להיות שם.
וכל וקטור של הקבוצה צריך להיות בתמ”ו, וגם כל מכפלה בסקלר של כל וקטור כזה.
חוץ מזה יש דרישה של סגירות ביחס לחיבור. אז גם הסכומים של כפולות בסקלר של איברים מהקבוצה.
כלומר: כל הצירופים הלינאריים האפשריים של איברי הקבוצה.
הגדרה - פרוש
יהי \(V\) מ”ו כלשהו מעל \(\mathbb{F}\) ותהא \(\emptyset\neq S\subseteq V\) קבוצה כלשהי. הפרוש של \(S\) מוגדר ע”י \[\text{Span }S=\left\{ c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\;\middle|\;n\in\mathbb{N},c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F},v_{1},\dots,v_{n}\in S\right\}\] בנוסף מגדירים \[\text{Span }\emptyset=\left\{ 0_{V}\right\}\]
טענה [פרוש הוא תמ”ו]
יהי \(V\) מ”ו מעל \(\mathbb{F}\) ותהא \(S\subseteq V\). אז \(\text{Span }S\) הוא תמ”ו של \(V\).
הוכחה
1) [וקטור אפס]
אם \(S=\emptyset\) אז \(0_{V}\in\{0_{V}\}=\text{Span }\emptyset=\text{Span }S\).
אם \(S\neq\emptyset\) אז קיים \(v\in S\), לכן \(0_{V}=0_{\mathbb{F}}\cdot v\in\text{Span }S\)
2) [סגירות ביחס לחיבור]
אם \(S=\emptyset\) אז \(\text{Span }\emptyset=\left\{ 0_{V}\right\}\) סגור ביחס לחיבור.
אם \(S\neq\emptyset\), נבחר \(u,v\in\text{Span }S\).
אז קיימים \(v_{1},\dots,v_{n}\in S\) \(c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\) כך ש- \(v=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\) וגם קיימים \(u_{1},\dots,u_{m}\in S\), \(d_{1},\dots,d_{m}\in\mathbb{F}\) כך ש- \(u=d_{1}u_{1}+\dots+d_{m}u_{m}\) אז \(u+v=d_{1}u_{1}+\dots+d_{m}u_{m}+c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\in\text{Span }S\)
3) [סגירות ביחס לכפל בסקלר]
אם \(S=\emptyset\) אז \(\text{Span }S=\left\{ 0_{V}\right\}\) סגור ביחס לכפל בסקלר.
אם \(S\neq\emptyset\), נבחר \(v\in\text{Span }S\), \(c\in\mathbb{F}\).
אז קיימים \(v_{1},\dots,v_{n}\in S\), \(c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\) כך ש- \(v=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\)
אז \[cv=c\left(c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\right)=\left(cc_{1}\right)v_{1}+\dots+\left(cc_{n}\right)v_{n}\in\text{Span }S\]
\(\square\)
שחזור הוכחה (שלי)
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\) ותהא \(S\subseteq V\). נוכיח כי \(\text{Span }S\) תמ”ו.
אם \(S=\emptyset\) אז \(\text{Span }S=\{0_{V}\}\) וכפי שלמדנו זה תמ”ו (הטריוויאלי).
נניח כי \(S\neq\emptyset\) ונבדוק את קיום שלושת האקסיומות.
1) \(0_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F}\) לפי אקסיומות שדה וגם \(S\neq\emptyset\) אז קיים \(v\in S\) אחד לפחות ומתקיים \(0\cdot v=0_{V}\) לכן \(0_{V}\in\text{Span }S\).
2) יהיו \(s_{1},s_{2}\in\text{Span }S\). אז \[s_{1}=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\quad s.t\quad\forall_{1\le i\le n},\;c_{i}\in\mathbb{F},\;v_{i}\in S\] \[s_{2}=d_{1}k_{1}+\dots+d_{m}k_{m}\quad s.t\quad\forall_{1\le i\le m},\;d_{i}\in\mathbb{F},\;k_{i}\in S\]
ובסך הכל \[s_{1}+s_{2}=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}+d_{1}k_{1}+\dots+d_{m}k_{m}\] זה צ"ל של איברים מ-\(S\) ולכן שייך ל-\(\text{Span }S\).
3) יהיו \(d\in\mathbb{F},s_{1}\in\text{Span }S\). אז \[s_{1}=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\quad s.t\quad\forall_{1\le i\le n},\;c_{i}\in\mathbb{F},\;v_{i}\in S\] ומתקיים
\[d\cdot s_{1}=d\left(c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\right)=d\cdot c_{1}v_{1}+\dots+d\cdot c_{n}v_{n}\]
\(\mathbb{F}\) שדה ולכן סגור לכפל ונקבל
\[=\left(dc_{1}\right)v_{1}+\dots+\left(dc_{n}\right)v_{n}\quad s.t\quad dc_{1},\dots,dc_{n}\in\mathbb{F},\quad v_{1},\dots,v_{n}\in S\]
לכן \(d\cdot s_{1}\in\text{Span }S\) וסיימנו.
תכונה 1 של \(\text{Span }\) [קבוצה מוכלת בפרוש שלה]
יהי \(V\) מ”ו ותהא \(S\subseteq V\). אז \(S\subseteq\text{Span }S\).
הוכחה
יהי \(w\in S\). אז \(w=1_{\mathbb{F}}\cdot w\in\text{Span }S\).
טענה [תכונת המינימליות] [קבוצה מוכלת בתמ”ו גורר ספאן של הקבוצה מוכל בתמ”ו]
יהי \(V\) מ”ו מעל \(\mathbb{F}\) ותהא \(S\subseteq V\). יהי \(U\) תמ”ו של \(V\) כך ש- \(S\subseteq U\).
אז \(\text{Span }S\subseteq U\).
הוכחה
(שחזור שלי, מאוד דומה לרשומות מאלכס)
יהי \(w\in\text{Span }S\). אז \(w=c_{1}v_{1}+\cdots+c_{n}v_{n}\quad s.t\quad\forall_{1\leq i\leq n}\:c_{i}\in\mathbb{F}\:v_{i}\in S\). אבל \(S\subseteq U\) ומכך נובע \(\forall_{1\leq i\leq n}\:c_{i}\in\mathbb{F}\:v_{i}\in U\). \(U\) תמ”ו ולכן סגור לחיבור ולכפל בסקלר אז נקבל \(w\in U\) וסיימנו.
\(\square\)
תכונה 1 והטענה הזאת, בנוסף לטענה שראינו שפרוש הוא תמ”ו, מהוות הגדרה מקבילה של ספאן שהיא: \(\text{Span }S\) הוא התמ”ו המינימלי שמכיל את \(S\).
מה זה אומר?
שהספאן מקיים את התכונה (להיות תמ”ו ולהכיל את הקבוצה) ומוכל בכל אובייקט אחר שמקיים את התכונה (להיות תמ”ו ולהכיל את הקבוצה). (מינימליות זה להיות מוכל בכל אובייקט אחר שמקיים את התכונה).
תכונה 2 של \(\text{Span }\) [תמ”ו שווה לפרוש שלו]
יהיו \(V\) מ”ו, \(U\) תמ”ו של \(V\). אז \(\text{Span }U=U\).
הוכחה
\(U\subseteq\text{Span }U\) לפי תכונה 1 [קבוצה מוכלת בפרוש שלה].
בנוסף, מאחר ש- \(U\) תמ”ו וגם \(U\subseteq U\),
לפי הטענה הקודמת [תכונת המינימליות] אנו מקבלים ש- \(\text{Span }U\subseteq U\).
מההכלה הדו-כיוונית \(\text{Span }U=U\).
\(\square\)
תכונה 3 של \(\text{Span }\) [ספאן משמר יחס הכלה]
יהי \(V\) מ”ו ויהיו \(S_{1}\subseteq S_{2}\subseteq V\). אז \(\text{Span }S_{1}\subseteq\text{Span }S_{2}\).
הוכחה
לפי תכונה 1 [קבוצה מוכלת בפרוש שלה] מתקיים \(S_{2}\subseteq\text{Span }S_{2}\).
אז מהנתון ומטרנזיטיביות ההכלה \(S_{1}\subseteq\text{Span }S_{2}\).
מאחר ש- \(\text{Span }S_{2}\) הוא תמ”ו, לפי הטענה הקודמת [תכונת המינימליות] מתקיים \(\text{Span }S_{1}\subseteq\text{Span }S_{2}\).
\(\square\)
כאשר \(S\) היא קבוצה סופית יש דרך נוספת להגדיר את הפרוש שלה.
טענה [הגדרה מקבילה לספאן כאשר הקבוצה סופית]
יהיו \(V\) מ”ו מעל \(\mathbb{F}\), \(v_{1},\dots,v_{k}\in V\), \(S=\{v_{1},\dots,v_{k}\}\). אז \[\text{Span }S=\left\{ c_{1}v_{1}+\dots+c_{k}v_{k}\:\middle|\:c_{1},\dots,c_{k}\in\mathbb{F}\right\}\]
הסבר
ההכלה \(\supseteq\) מתקיימת כי \(c_{1}v_{1}+\dots+c_{k}v_{k}\) הוא צ”ל של איברים מ- \(S\).
ההכלה \(\subseteq\) מתקיימת כי כל צ”ל של איברים מ- \(S\) ניתן להפוך ע”י כינוס מחוברים והוספת מחוברים עם מקדם \(0\) לצ”ל מהצורה \(c_{1}v_{1}+\dots+c_{k}v_{k}\) בלי לשנות את ערכו.