אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
בתזכורת דיברנו על הגדרת הפרוש הראשונה שראינו ועל הטענה [הגדרה מקבילה לספאן כאשר הקבוצה סופית].
הגדרה - ספאן של סדרה של וקטורים
יהי \(V\) מ”ו מעל \(\mathbb{F}\), \((v_{1},\dots,v_{k})\) סדרה של וקטורים מ- \(V\). נגדיר את הפרוש של הסדרה ע”י \[\text{Span }(v_{1},\dots,v_{k})=\{c_{1}v_{1}+\dots+c_{k}v_{k}\mid c_{1},\dots,c_{k}\in\mathbb{F}\}\]
דוגמה
יהי \(V\) מ”ו מעל \(\mathbb{F}\), \(v\in V\). אז \(\text{Span }(v)=\{cv\mid c\in\mathbb{F}\}\).
טענה [ספאן עמודות של מטריצה]
תהי \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\). לכל \(1\leq j\leq n\) נסמן ב- \(v_{j}\in\mathbb{F}^{m}\) את העמודה ה- \(j\) של \(A\). אז \[\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})=\{Ax\mid x\in\mathbb{F}^{n}\}=\{b\in\mathbb{F}^{m}\mid\text{The Linear System }Ax=b\text{ has a solution}\}\]
זוהי אחת הזהויות הבסיסיות והחשובות ביותר באלגברה לינארית.
הסיבה לכך שהשוויון נכון נובעת מהגדרת כפל מטריצה-וקטור.
כאשר כופלים מטריצה \(A\) בוקטור \(x\), התוצאה היא בעצם צירוף לינארי של עמודות המטריצה \(A\), כאשר הרכיבים של \(x\) הם המקדמים (הסקלארים) של הצירוף.
לכן:
הביטוי \(\{Ax\mid x\in\mathbb{F}^{n}\}\) הוא פשוט אוסף כל הצירופים הלינאריים האפשריים של עמודות \(A\), שזו בדיוק ההגדרה של \(\text{Span }\).
מערכת המשוואות \(Ax=b\) פתירה אם ורק אם קיים \(x\) כלשהו כך ש-\(Ax\) יתן את \(b\). כלומר, אם ורק אם \(b\) נמצא בתוך הספאן של עמודות המטריצה.
ספאן עמודות של מטריצה \(A\) הוא קבוצת וקטורי התוצאה (\(b\)) של כל ממ”ל עם פתרון ש-\(A\) היא המטריצה הלא-מורחבת שלה.
הוכחה
\(\subseteq\):
אם \(v\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})\) אז קיימים \(c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\) כך ש- \(v=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\) לכן \(v=A\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\) ומתקיים \(v\in\{Ax\mid x\in\mathbb{F}^{n}\}\).
\(\supseteq\):
אם \(v\in\{Ax\mid x\in\mathbb{F}^{n}\}\) אז קיים \(c=\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}\) כך ש- \(v=A\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\). מכאן \(v=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})\) וסיימנו.
\(\square\)
שחזור הוכחה שלי
נסמן: \[\alpha:=\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n}),\quad\beta:=\{Ax\mid x\in\mathbb{F}^{n}\}\]
כיוון ראשון: נוכיח כי \(\alpha\subseteq\beta\). יהי \(v\in\alpha\). אז קיימים \(c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\) כך ש: \[v=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\] נסתכל על הוקטור \(\vec{c}=\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}\). מהגדרת כפל מטריצה בוקטור מתקיים: \[A\vec{c}=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}=v\] לכן \(v\in\beta\).
כיוון שני: נוכיח כי \(\beta\subseteq\alpha\). יהי \(v\in\beta\). דהיינו, קיים \(x\in\mathbb{F}^{n}\) כך ש- \(v=Ax\). אז קיימים \(x_{1},\dots,x_{n}\in\mathbb{F}\) כך ש: \[v=Ax=A\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}=x_{1}C_{1}^{A}+\dots+x_{n}C_{n}^{A}\] אבל הגדרנו \(\forall_{1\le j\le n},C_{j}^{A}=v_{j}\) לכן: \[v=x_{1}v_{1}+\dots+x_{n}v_{n}\] כלומר זהו צ”ל של \((v_{1},\dots,v_{n})\), ולכן \(v\in\alpha\) וסיימנו.
\(\square\)
מסקנה [ספאן סדרת וקטורי היחידה הסטנדרטיים הוא \(\mathbb{F}^{n}\)]
\[\text{Span }(e_{1},\dots,e_{n})=\mathbb{F}^{n}\] כאשר \(e_{i}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}\) (ה-1 במקום ה-\(i\)).
הוכחה
\[\text{Span }(e_{1},\dots,e_{n})\underset{(*)}{=}\left\{ I_{n}x\mid x\in\mathbb{F}^{n}\right\} =\left\{ x\mid x\in\mathbb{F}^{n}\right\} =\mathbb{F}^{n}\]
\((*)\) כפי שראינו, \(e_{1},\dots,e_{n}\) הם עמודות המטריצה \(I_{n}\) ואז משתמשים בטענה שהרגע ראינו.
הגדרה - תלות לינארית (תכונה של סדרה)
יהי \(V\) מ”ו מעל \(\mathbb{F}\), \((v_{1},\dots,v_{k})\) סדרה של וקטורים מ- \(V\).
אומרים כי הסדרה תלויה לינארית (ת”ל) כאשר \[\exists_{1\leq i\leq k}\quad s.t\quad v_{i}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{i-1},v_{i+1},v_{i+2},\dots,v_{k})\]
כלומר, סדרת הוקטורים ללא \(v_{i}\).
דהיינו, כשקיים וקטור ששייך לספאן של שאר הוקטורים, משמע כשקיים וקטור בסדרה שהוא צ”ל של שאר הוקטורים בסדרה.
תכונות של תלות לינארית
1) אם \((v_{1},\dots,v_{k})\) סדרה כך ש-
\[\exists_{1\leq i\leq k,\:1\leq j\leq k}\quad s.t\quad i\neq j\quad\wedge\quad v_{i}=v_{j}\]
אז היא ת”ל. (כי הרי \(v_{i}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_{j},\dots,v_{k})\) ).
2) אם \((v_{1},\dots,v_{k})\) סדרה כך ש- \[\exists_{1\leq i\leq k}\quad s.t\quad v_{i}=0_{V}\] אז היא ת"ל. (כי הרי פרוש הוא תמ”ו ו-וקטור האפס תמיד שייך לתמ”ו. במילים אחרות \(v_{i}=0_{V}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_{k})\)).
3) [תכונה חשובה] אם \((v_{1},\dots,v_{k})\) סדרה ת"ל, אז כל סדרה אחרת שמתקבלת ממנה ע”י שינוי סדר הוקטורים היא גם ת”ל.
4) אם \((v_{1},\dots,v_{k})\) סדרה ת"ל, ו- \(v_{k+1}\in V\), אז גם הסדרה \((v_{1},\dots,v_{k},v_{k+1})\) ת"ל. (כי הרי אם \(v_{i}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_{k})\), אז \(\left(v_{i}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_{k},v_{k+1})\right)\).
5) אם לסדרה \((v_{1},\dots,v_{k})\) קיימת תת-סדרה ת"ל, אז היא גם ת"ל.
טענה [אפיון ת”ל בעזרת צ”ל מתאפס לא טריוויאלי]
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), \((v_{1},\dots,v_{k})\) סדרה של וקטורים מ-\(V\).
אז \((v_{1},\dots,v_{k})\) ת"ל אם"ם קיימים \(c_{1},\dots,c_{k}\in\mathbb{F}\) כך ש- \[c_{1}v_{1}+\dots+c_{k}v_{k}=0_{V}\] ולא כולם שווים ל-\(0\).
בכתיב כמתים: \((v_{1},\dots,v_{k})\) ת”ל אם”ם \[\exists_{c_{1},\dots,c_{k}\in\mathbb{F}},\exists_{1\leq i\leq k},c_{i}\neq0\quad\wedge\quad c_{1}v_{1}+\dots+c_{k}v_{k}=0_{V}\]
הוכחה
\(\Leftarrow\): מאחר ש- \((v_{1},\dots,v_{k})\) ת"ל קיים \(1\le i\le k\) כך ש- \(v_{i}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_{k})\). אז קיימים \(c_{1},\dots,c_{i-1},c_{i+1},\dots,c_{k}\in\mathbb{F}\) כך ש- \[v_{i}=c_{1}v_{1}+\dots+c_{i-1}v_{i-1}+c_{i+1}v_{i+1}+\dots+c_{k}v_{k}\] מכאן \[-c_{1}v_{1}-\dots-c_{i-1}v_{i-1}+\underset{\begin{array}{c} \downarrow\\ {\color{green}c_{i}\ne0} \end{array}}{1\cdot v_{i}}-c_{i+1}v_{i+1}-\dots-c_{k}v_{k}=0_{V}\] \(\Rightarrow\): אם קיימים \(c_{1},\dots,c_{k}\in\mathbb{F}\) שלא כולם שווים ל-\(0\) כך ש- \[c_{1}v_{1}+\dots+c_{k}v_{k}=0\] אז קיים \(1\le i\le k\) כך ש- \(c_{i}\ne0\). מכאן \[c_{i}v_{i}=-c_{1}v_{1}-\dots-c_{i-1}v_{i-1}-c_{i+1}v_{i+1}-\dots-c_{k}v_{k}\] \(c_{i}\ne0\) לכן קיים לו הופכי ומתקיים \[v_{i}=-\frac{c_{1}}{c_{i}}v_{1}-\dots-\frac{c_{i-1}}{c_{i}}v_{i-1}-\frac{c_{i+1}}{c_{i}}v_{i+1}-\dots-\frac{c_{k}}{c_{i}}v_{k}\] \[\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_{k})\] ובפרט \((v_{1},\dots,v_{k})\) ת"ל.
טענה [אפיון ת”ל בעזרת ספאן סדרת הוקטורים הקודמים]
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\) ותהי \((v_{1},\dots,v_{k})\) סדרה של וקטורים מ-\(V\).
אז \((v_{1},\dots,v_{k})\) ת"ל אם"ם \[\exists_{1\leq i\leq k}\quad s.t\quad v_{i}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{i-1})\]
הוכחה
\(\Rightarrow\): אם \(v_{i}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{i-1})\) אז \(v_{i}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_{k})\) וסיימנו.
\(:\Leftarrow\) מאחר ש- \((v_{1},\dots,v_{k})\) ת"ל, לפי הטענה הקודמת [אפיון ת”ל בעזרת צ”ל מתאפס לא טריוויאלי] קיימים \(c_{1},\dots,c_{k}\in\mathbb{F}\) כך שלא כולם שווים ל-0 ומתקיים \[c_{1}v_{1}+\dots+c_{k}v_{k}=0_{V}\] נגדיר \(i=\max\{1\le\ell\le k\mid c_{\ell}\neq0\}\).
אז \(c_{i}\neq0\), אבל \(c_{i+1}=c_{i+2}=\dots=c_{k}=0\). מכאן \(c_{1}v_{1}+\dots+c_{i}v_{i}=0_{V}\). לכן \(c_{i}v_{i}=-c_{1}v_{1}-\dots-c_{i-1}v_{i-1}\).
\(c_{i}\neq0\) לכן יש לו הופכי ומתקיים \[v_{i}=-\frac{c_{1}}{c_{i}}v_{1}-\dots-\frac{c_{i-1}}{c_{i}}v_{i-1}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{i-1})\] וסיימנו.
\(\square\)