אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
בתזכורת דיברנו על ההגדרה של ת”ל ועל הטענה [אפיון ת”ל בעזרת צ”ל מתאפס לא טריוויאלי]. עכשיו נמשיך עם תכונות של ת”ל.
תכונה [סדרת וקטור יחיד אינה ת”ל]
יהיו \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), \(0_{V}\neq v\in V\). אז \((v)\) אינה ת"ל.
כי הרי \(v\notin\{0_{V}\}=\text{Span }(\ )\).
משתמשים בטענה [אפיון ת”ל בעזרת ספאן סדרת הוקטורים הקודמים], סדרת הוקטורים הקודמים היא הסדרה הריקה והספאן שלה הוא הקבוצה עם \(0_{V}\).
תכונה [שני וקטורים הם ת”ל אם”ם אחד מהם הוא כפולה בסקלר של השני]
יהיו \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), \(v,w\in V\) כך ש- \(w\neq0_{V}\quad\wedge\quad v\neq0_{V}\).
אז \((v,w)\) ת"ל אם"ם קיים \(0\neq c\in\mathbb{F}\) כך ש- \(w=cv\).
הוכחה
\(\Rightarrow\): אם \(w=cv\) אז \(w\in\text{Span }(v)\), לכן \((v,w)\) ת"ל.
\(\Leftarrow\): אם \((v,w)\) ת"ל, אז \(w\in\text{Span }(v)\) או \(v\in\text{Span }(w)\).
אם \(w\in\text{Span }(v)\), אז קיים \(c\in\mathbb{F}\) כך ש- \(w=cv\).
כמו כן \(c\neq0\) כי אחרת היינו מקבלים \(w=0_{V}\).
אם \(v\in\text{Span }(w)\), אזי קיים \(d\in\mathbb{F}\) כך ש- \(v=dw\).
כמו כן \(d\neq0\) כי אחרת היינו מקבלים \(v=0_{V}\).
מכאן \(\frac{1}{d}v=w\) וברור כי \(\frac{1}{d}\neq0\).
טענה [חשובה] [עמודות מטריצה מהוות סדרה ת”ל אם”ם לממ”ל הומוגנית עם המטריצה יש פתרון לא טריוויאלי]
תהי \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\). לכל \(1\leq j\leq n\) נסמן ב- \(v_{j}\in\mathbb{F}^{m}\) את העמודה ה- \(j\) של \(A\). אז \((v_{1},\dots,v_{n})\) ת”ל אם”ם לממ”ל הומוגנית \(Ax=\begin{pmatrix}0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}\) קיים פתרון לא טריוויאלי.
כזכור כשכופלים מטריצה בוקטור (\(Ax\)) מקבלים צ”ל של עמודות המטריצה עם ערכי הוקטור כמקדמים.
אז כשאומרים ש-לממ”ל הומוגנית \(Ax=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\) יש פתרון, אומרים שיש צ”ל שנותן את וקטור האפס. ואם יש מקדם שהוא לא שווה לאפס קיבלנו את אפיון ת”ל בעזרת צ”ל מתאפס לא טריוויאלי.
הוכחה
\(\Leftarrow\): אם \((v_{1},\dots,v_{n})\) ת"ל, אז לפי טענה קודמת [אפיון ת”ל בעזרת צ”ל מתאפס לא טריוויאלי] קיימים \(c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\) כך שלא כולם שווים ל-0 ומתקיים
\[c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}=0_{V}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\]
מכאן \(A\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\) לכן \(\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\) הוא פתרון של \(Ax=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\).
בנוסף \(\begin{pmatrix}c_{1}\\
\vdots\\
c_{n}
\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}\) כי \(c_{1},\dots,c_{n}\) לא כולם שווים ל-0 אז \(\begin{pmatrix}c_{1}\\
\vdots\\
c_{n}
\end{pmatrix}\) הוא לא הפתרון הטריוויאלי.
\(\Rightarrow\): אם למערכת \(Ax=\begin{pmatrix}0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}\) קיים פתרון לא טריוויאלי, נסמן אותו ב- \(\begin{pmatrix}c_{1}\\
\vdots\\
c_{n}
\end{pmatrix}\). אז \(c_{1},\dots,c_{n}\) לא כולם שווים ל- 0 וגם \(A\begin{pmatrix}c_{1}\\
\vdots\\
c_{n}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}\).
אבל \(A\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\) אז נקבל \(c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}=0_{V}\). כאמור לא כולם שווים ל- 0 לכן לפי טענה קודמת [אפיון ת”ל בעזרת צ”ל מתאפס לא טריוויאלי], \((v_{1},\dots,v_{n})\) ת"ל.
מסקנה [סדרת וקטורי היחידה הסטנדרטיים אינה ת”ל]
סדרת הוקטורים ב-\(\mathbb{F}^{n}\) הבאה: \((e_{1},\dots,e_{n})\) אינה ת"ל, כאשר \(e_{i}=\begin{pmatrix}0\\
\vdots\\
1\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}\) (ה-1 במקום ה-\(i\)). כי הרי המטריצה שהעמודה ה-\(i\) שלה היא \(e_{i}\) היא \(I_{n}=\begin{pmatrix}1 & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}\) (מטריצת היחידה) ולממ"ל \(I_{n}x=\begin{pmatrix}0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}\) קיים פתרון יחיד (הפתרון הטריוויאלי) כיוון שמדובר בממ"ל \(\begin{cases}
x_{1}=0\\
\vdots\\
x_{n}=0
\end{cases}\) .
סיימנו את התת-פרק על תלות לינארית.
הגדרות - פורשת, בת”ל ובסיס
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\).
תהי \((v_{1},\dots,v_{n})\) סדרה של וקטורים מ-\(V\).
\((v_{1},\dots,v_{n})\) נקראת פורשת כאשר \[\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})=V\] \((v_{1},\dots,v_{n})\) נקראת בלתי תלויה לינארית (בת"ל) כאשר \((v_{1},\dots,v_{n})\) אינה ת"ל.
\((v_{1},\dots,v_{n})\) נקראת בסיס כאשר היא פורשת ובת"ל.
דוגמה [ולמעשה הגדרת הבסיס הסטנדרטי]
\(V=\mathbb{F}^{n}\). אז הסדרה \((e_{1},\dots,e_{n})\) היא פורשת ובת"ל ולכן היא בסיס.
פורשת כפי שראינו ב- מסקנה [ספאן סדרת וקטורי היחידה הסטנדרטיים הוא \(\mathbb{F}^{n}\)],
בת”ל כפי שראינו ב- מסקנה [סדרת וקטורי היחידה הסטנדרטיים אינה ת”ל].
\(E=(e_{1},\dots,e_{n})\) זה הבסיס הסטנדרטי.
טענה [אם סדרת עמודות מטריצה היא בסיס של המרחב אז לכל ממ”ל עם המטריצה יש פתרון יחיד]
תהי \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\).
לכל \(1\le j\le n\) נסמן ב-\(v_{j}\in\mathbb{F}^{m}\) את העמודה ה-\(j\) של \(A\).
אם \((v_{1},\dots,v_{n})\) בסיס של \(\mathbb{F}^{m}\), אז לכל \(b\in\mathbb{F}^{m}\), לממ"ל \(Ax=b\) קיים פתרון יחיד.
אלכס אמר שאפשר כאן גם אם”ם.
שחזור הוכחה שלי
נניח כי \((v_{1},\dots,v_{n})\) בסיס של \(\mathbb{F}^{m}\). יהי \(b\in\mathbb{F}^{m}\). נרצה להוכיח קיום של פתרון לממ”ל \(Ax=b\) ולאחר מכן יחידות. מהגדרת בסיס הסדרה היא פורשת ובת"ל. מכך שהיא פורשת מתקיים \(\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})=\mathbb{F}^{m}\). אז בפרט \(b\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})\) (כי \(b\in\mathbb{F}^{m}\)). כלומר, קיימים \(c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\) כך ש- \(c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}=b\). נסתכל על \(c=\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\). נשים לב שמתקיים \[Ac=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}=b\] ובכך הוכחנו קיום. נניח בשלילה שקיים לממ”ל \(Ax=b\) פתרון נוסף. אזי קיים \(d=\begin{pmatrix}d_{1}\\ \vdots\\ d_{n} \end{pmatrix}\) כך ש- \(Ad=b\) וגם \(\exists_{1\le i\le n}\quad d_{i}\neq c_{i}\).
נקבל \[Ac-Ad=b-b=0_{V}\] כלומר \[c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}-(d_{1}v_{1}+\dots+d_{n}v_{n})=0_{V}\] כלומר \[(c_{1}-d_{1})v_{1}+\dots+(c_{n}-d_{n})v_{n}=0_{V}\] אבל \(d_{i}\neq c_{i}\) לכן \(c_{i}-d_{i}\neq0\) ולפי הטענה האומרת שעמודות מטריצה מהוות סדרה ת"ל אם"ם לממ”ל ההומוגנית עם המטריצה יש פתרון לא-טריוויאלי, נקבל שהסדרה \((v_{1},\dots,v_{n})\) ת"ל וזאת סתירה, בכך הוכחנו יחידות.
\(\square\)
הוכחה
מאחר ש- \((v_{1},\dots,v_{n})\) פורשת מתקיים \[\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})=\mathbb{F}^{m}\] לכן לפי הטענה מאתמול (הניחוש שלי הוא שאלכס מתייחס כאן לטענה [ספאן עמודות של מטריצה]) לממ"ל \(Ax=b\) קיים פתרון. נניח כי \(d,h\in\mathbb{F}^{n}\) הם פתרונות של הממ"ל \(Ax=b\). אז \(Ad=b\) וגם \(Ah=b\). מכאן \[A(d-h)=Ad-Ah=b-b=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\] כלומר \(d-h\) הוא פתרון של הממ"ל \(Ax=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\).
מאחר ש- \((v_{1},\dots,v_{n})\) בת"ל לממ"ל \(Ax=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\) אין פתרון לא טריוויאלי, לכן \((d-h)\) הוא הפתרון הטריוויאלי, כלומר \((d-h)=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\) מכאן \(d=h\).
\(\square\)
טענה [יחידות ההצגה לפי בסיס]
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\) ויהי \((v_{1},\dots,v_{n})\) בסיס של \(V\). יהי \(v\in V\).
אז קיימים \(c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\) יחידים כך ש- \[v=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\] דהיינו, כל וקטור במ"ו אפשר להציג כצירוף לינארי של וקטורי הבסיס בדרך יחידה.
הוכחה
אותו עיקרון של ההוכחה הקודמת.
מאחר ש- \((v_{1},\dots,v_{n})\) פורשת מתקיים \(\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})=V\).
לכן \(v\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})\) ומכאן קיימים \(c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\) כך ש- \[v=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\]
(הוכחנו קיום)
נניח כי \(d_{1},\dots,d_{n}\in\mathbb{F}\) כך ש- \[v=d_{1}v_{1}+\dots+d_{n}v_{n}\] מכאן \[c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}=d_{1}v_{1}+\dots+d_{n}v_{n}\] לכן \[c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}-d_{1}v_{1}-\dots-d_{n}v_{n}=0_{V}\] נקבל \[(c_{1}-d_{1})v_{1}+(c_{2}-d_{2})v_{2}+\dots+(c_{n}-d_{n})v_{n}=0_{V}\] מאחר ש- \((v_{1},\dots,v_{n})\) בת"ל, אנו מקבלים לפי טענה [אפיון ת”ל בעזרת צ”ל מתאפס לא טריוויאלי]
\[\begin{array}{c} c_{1}-d_{1}=0\\ \vdots\\ c_{n}-d_{n}=0 \end{array}\]
מכאן \[\begin{array}{c} c_{1}=d_{1}\\ \vdots\\ c_{n}=d_{n} \end{array}\]
(הוכחנו יחידות) וסיימנו.
\(\square\)