אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
בתזכורת דיברנו על טענה [יחידות ההצגה לפי בסיס].
הגדרה - וקטור הקואורדינטות
יהיו \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), \(\mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{n})\) בסיס של \(V\), \(v\in V\).
יהיו \(c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\) כמו בטענה (היחידים כך ש- \(c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}=v\)).
ה-\(n\)-יה \(\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}\) נקראת \(n\)-ית הקואורדינטות של \(v\) ביחס לבסיס \(\mathcal{B}\) ומסומנת ב- \([v]_{\mathcal{B}}\).
טענה [וקטור הקואורדינטות משמר חיבור וכפל בסקלר]
יהיו \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), \(\mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{n})\) בסיס של \(V\), \(c\in\mathbb{F},\quad v,w\in V\). אז
1) \[[v+w]_{\mathcal{B}}=[v]_{\mathcal{B}}+[w]_{\mathcal{B}}\]
2) \[[c\cdot v]_{\mathcal{B}}=c\cdot[v]_{\mathcal{B}}\]
הוכחה
1) נסמן \[[v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix},\quad[w]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}d_{1}\\ \vdots\\ d_{n} \end{pmatrix}\] אז
\[v=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\] \[w=d_{1}v_{1}+\dots+d_{n}v_{n}\] מכאן \[v+w=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}+d_{1}v_{1}+\dots+d_{n}v_{n}=\] \[(c_{1}+d_{1})v_{1}+\dots+(c_{n}+d_{n})v_{n}\] לפיכך \[[v+w]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c_{1}+d_{1}\\ \vdots\\ c_{n}+d_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}d_{1}\\ \vdots\\ d_{n} \end{pmatrix}\] \[=[v]_{\mathcal{B}}+[w]_{\mathcal{B}}\]
2) נסמן \([v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\). אז
\[v=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\]
מכאן \[c\cdot v=c\cdot(c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n})=\] \[(c\cdot c_{1})v_{1}+\dots+(c\cdot c_{n})v_{n}\] לפיכך \[[c\cdot v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c\cdot c_{1}\\ \vdots\\ c\cdot c_{n} \end{pmatrix}=c\cdot\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}=c\cdot[v]_{\mathcal{B}}\]
\(\square\)
הבחנה [איך מחשבים וקטור קואורדינטות לפי בסיס]
אם \(\mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{n})\) בסיס של \(\mathbb{F}^{m}\),
\(A\) היא מטריצה שעמודותיה הן \(v_{1},\dots,v_{n}\) (וקטורי הבסיס), ו- \(b\in\mathbb{F}^{m}\).
אז \([b]_{\mathcal{B}}\) הוא הפתרון היחיד של הממ"ל \(Ax=b\).
במילים פשוטות: כדי למצוא את וקטור הקואורדינטות של \(b\) לפי בסיס \(\mathcal{B}\), אנחנו פשוט צריכים לפתור ממ”ל שבה עמודות המטריצה הן וקטורי הבסיס.
כזכור, \(Ax\) הוא צ”ל של עמודות המטריצה, והוכחנו שיש רק צ”ל אחד כזה לפי הבסיס עבור כל וקטור (בטענה [יחידות ההצגה לפי בסיס]).
תכונה [וקטור הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי שווה לעצמו]
יהי \(E=(e_{1},\dots,e_{n})\) הבסיס הסטנדרטי של \(\mathbb{F}^{n}\), ויהי \(v\in\mathbb{F}^{n}\). אז \[[v]_{E}=v\]
דוגמה
\[V=\mathbb{R}^{2},\quad B=\left(\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}\right),\quad v=\begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}\]
\[\begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}=1\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}\quad\therefore\quad[v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}\]
\(\therefore\) זה הסימון של “ולכן”.
תכונה [שינוי סדר הקואורדינטות מתאים לשינוי סדר וקטורים בבסיס]
אם בסיס \(\mathcal{C}\) של מ"ו \(V\) מתקבל מבסיס \(\mathcal{B}\) ע"י שינוי סדר הוקטורים, אז לכל \(v\in V\), \([v]_{\mathcal{C}}\) מתקבל מ- \([v]_{\mathcal{B}}\) ע"י אותו שינוי הסדר של הקואורדינטות.
דוגמה
הדוגמה מתקשרת לדוגמה הקודמת.
\[V=\mathbb{R}^{2},\quad B=\left(\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}\right),\quad v=\begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}\]
\[\begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}\quad\therefore\quad[v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2\\ 1 \end{pmatrix}\]
תכונה [וקטורי הקואורדינטות של וקטורי הבסיס]
אם \(\mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{n})\) בסיס של מ"ו \(V\), אז \[\forall_{1\leq i\leq n}\quad[v_{i}]_{\mathcal{B}}=e_{i}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\leftarrow i\]
דוגמה
\[V=\mathbb{R}^{2},\quad B=\left(\begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}\right),\quad v=\begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}\]
ניתן לבדוק כי \(\mathcal{B}\) אכן בסיס של \(\mathbb{R}^{2}\).
\[\begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}=0\cdot\begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix}\quad\therefore\quad[v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}\]
למה זו דוגמה לתכונה? כי הווקטור \(v\) בדוגמה הוא האיבר השני בבסיס \(\mathcal{B}\), והחישוב מראה שווקטור הקואורדינטות שלו הוא אכן \(e_{2}\) (הווקטור \(\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}\)), בדיוק כפי שהתכונה מתארת עבור \(i=2\).
המשפט המרכזי
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), ויהיו \(v_{1},\dots,v_{m},w_{1},\dots,w_{n}\in V\) כך ש- \[w_{1},\dots,w_{n}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{m})\] אם \(m<n\), אז \((w_{1},\dots,w_{n})\) ת"ל.
הוכחה
לכל \(1\le j\le n\) קיימים \(a_{1j},\dots,a_{mj}\) כך ש- \[w_{j}=a_{1j}v_{1}+\dots+a_{mj}v_{m}\] נסמן \[A=\begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\] אז \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\).
מאחר ש- \(m<n\) לממ"ל ההומוגנית \[A\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\] קיים פתרון לא טריוויאלי, נסמן אותו ב- \(\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\).
בפרט לכל \(1\le i\le m\) מתקיים \[a_{i1}c_{1}+\dots+a_{in}c_{n}=0\] נתבונן בצירוף לינארי לא טריוויאלי \(c_{1}w_{1}+\dots+c_{n}w_{n}\) ונראה שהוא שווה ל- \(0_{V}\). אכן \[c_{1}w_{1}+\dots+c_{n}w_{n}=\] \[c_{1}a_{11}v_{1}+c_{1}a_{21}v_{2}+\dots+c_{1}a_{m1}v_{m}+\] \[c_{2}a_{12}v_{1}+c_{2}a_{22}v_{2}+\dots+c_{2}a_{m2}v_{m}+\] \[\dots+c_{n}a_{1n}v_{1}+c_{n}a_{2n}v_{2}+\dots+c_{n}a_{mn}v_{m}=\] \[(a_{11}c_{1}+a_{12}c_{2}+\dots+a_{1n}c_{n})v_{1}+\] \[(a_{21}c_{1}+a_{22}c_{2}+\dots+a_{2n}c_{n})v_{2}+\] \[\vdots\] \[+(a_{m1}c_{1}+a_{m2}c_{2}+\dots+a_{mn}c_{n})v_{m}=\] \[0v_{1}+0v_{2}+\dots+0v_{m}=0_{V}\] לפיכך \((w_{1},\dots,w_{n})\) ת"ל.
\(\square\)
שחזור הוכחה שלי
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\) ויהיו \[v_{1},\dots,v_{m},w_{1},\dots,w_{n}\in V\] כך ש- \(w_{1},\dots,w_{n}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{m})\) ונניח ש- \(m<n\). אז קיימים \(a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{F}^{m}\) כך ש- \[w_{1}=a_{11}v_{1}+a_{12}v_{2}+\dots+a_{1m}v_{m}\] \[w_{2}=a_{21}v_{1}+a_{22}v_{2}+\dots+a_{2m}v_{m}\] \[\vdots\] \[w_{m}=a_{m1}v_{1}+a_{m2}v_{2}+\dots+a_{mm}v_{m}\] \[\vdots\] \[w_{n}=a_{n1}v_{1}+a_{n2}v_{2}+\dots+a_{nm}v_{m}\] לפי טענה שלמדנו, \(w_{1},\dots,w_{n}\) ת"ל, אם"ם קיים פתרון לא טריוויאלי למשוואה \(x_{1}w_{1}+\dots+x_{n}w_{n}=0_{V}\). נציב את הממ"ל הקודם ונקבל שזה מתקיים אם”ם קיים פתרון לא טריוויאלי למשוואה: \[x_{1}a_{11}v_{1}+x_{1}a_{12}v_{2}+\dots+x_{1}a_{1m}v_{m}+\] \[x_{2}a_{21}v_{1}+x_{2}a_{22}v_{2}+\dots+x_{2}a_{2m}v_{m}+\] \[\vdots\] \[x_{m}a_{m1}v_{1}+x_{m}a_{m2}v_{2}+\dots+x_{m}a_{mm}v_{m}+\] \[\vdots\] \[x_{n}a_{n1}v_{1}+x_{n}a_{n2}v_{2}+\dots+x_{n}a_{nm}v_{m}=0_{V}\] נקבץ איברים ונקבל \[(x_{1}a_{11}+x_{2}a_{21}+\dots+x_{m}a_{m1}+\dots+x_{n}a_{n1})v_{1}+\] \[(x_{1}a_{12}+x_{2}a_{22}+\dots+x_{m}a_{m2}+\dots+x_{n}a_{n2})v_{2}+\] \[\vdots\] \[(x_{1}a_{1m}+x_{2}a_{2m}+\dots+x_{m}a_{mm}+\dots+x_{n}a_{nm})v_{m}=0_{V}\] וזה בפרט מתקיים אם קיים פתרון לא טריוויאלי לממ"ל \[x_{1}a_{11}+x_{2}a_{21}+\dots+x_{m}a_{m1}+\dots+x_{n}a_{n1}=0\] \[x_{1}a_{12}+x_{2}a_{22}+\dots+x_{m}a_{m2}+\dots+x_{n}a_{n2}=0\] \[\vdots\] \[x_{1}a_{1m}+x_{2}a_{2m}+\dots+x_{m}a_{mm}+\dots+x_{n}a_{nm}=0\] שמיוצגת ע"י המטריצה המורחבת \[\left(\begin{array}{cccccc|c} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} & \dots & a_{n1} & 0\\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} & \dots & a_{n2} & 0\\ \vdots & & & & & & \vdots\\ a_{1m} & a_{2m} & \dots & a_{mm} & \dots & a_{nm} & 0 \end{array}\right)\] ונתון כי \(n>m\) כלומר בממ"ל ההומוגנית הזאת יש יותר נעלמים מאשר משוואות ולפי מסקנה שלמדנו יש לה פתרון לא-טריוויאלי ולכן כפי שרצינו \(w_{1},\dots,w_{n}\) ת"ל וסיימנו.
\(\square\)
טענה [לבסיסים של אותו מ”ו יש מספר זהה של וקטורים]
יהי \(V\) מ"ו מעל שדה \(\mathbb{F}\), יהיו \((v_{1},\dots,v_{m})\) , \((w_{1},\dots,w_{n})\) בסיסים של \(V\). אז \(m=n\).
הוכחה
נניח בשלילה כי \(m\neq n\). בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי \(m<n\).
מאחר ש- \((v_{1},\dots,v_{m})\) בסיס מתקיים \(\text{Span }(v_{1},\dots,v_{m})=V\).
מכאן \(w_{1},\dots,w_{n}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{m})\). מאחר ש- \(m<n\), מהמשפט המרכזי נובע כי \((w_{1},\dots,w_{n})\) ת"ל בסתירה לכך שהיא בסיס.
הגדרות - מ”ו נוצר סופית, מימד
מ"ו \(V\) מעל \(\mathbb{F}\) נקרא נוצר סופית (נ”ס) כאשר יש לו בסיס סופי.
יהי \(V\) מ"ו נוצר סופית. המימד של \(V\) זהו מספר הוקטורים בבסיס של \(V\).
בזכות הטענה שהרגע הוכחנו, המימד מוגדר היטב (כלומר לא תלוי בבחירת הבסיס הספציפי, לכן הוא יחיד עבור כל מ”ו).
המימד של \(V\) מסומן ב- \(\dim V\).
נשים לב - המושג מימד מוגדר רק על מ”ו שהוא נ”ס.
דוגמה [ולמעשה עובדה חשובה - \(\dim\mathbb{F}^{n}=n\)]
מאחר ש- \(E=(e_{1},\dots,e_{n})\) הוא תמיד בסיס של \(\mathbb{F}^{n}\) (ראו - דוגמה [ולמעשה הגדרת הבסיס הסטנדרטי]) מתקיים \(\dim\mathbb{F}^{n}=n\).