אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
בתזכורת עברנו על המשפט המרכזי, טענה [לבסיסים של אותו מ”ו יש מספר זהה של וקטורים] והגדרות - מ”ו נוצר סופית, מימד.
דוגמאות נוספות למימד
1) \(V=M_{m\times n}(\mathbb{F})\). לכל \(1\leq i\leq m\) ו- \(1\leq j\leq n\) נגדיר מטריצה \(E_{ij}\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\) באופן הבא:
בחיתוך של השורה ה-\(i\) והעמודה ה-\(j\) של \(E_{ij}\) מופיע 1, בשאר המקומות מופיע 0.
אז הסדרה \((E_{11},E_{12},\dots,E_{1n},E_{21},E_{22},\dots,E_{2n},\dots,E_{m1},E_{m2},\dots,E_{mn})\) מהווה בסיס של \(M_{m\times n}(\mathbb{F})\) לכן \[\dim M_{m\times n}(\mathbb{F})=mn\]
זה הבסיס הסטנדרטי של מרחב המטריצות.
2) \[V=\mathbb{F}[x]_{\le n}=\{P\in\mathbb{F}[x]\mid\deg P\le n\}\]
הסדרה \((1,x,x^{2},\dots,x^{n})\) מהווה בסיס של \(\mathbb{F}[x]_{\le n}\) למעשה הבסיס הסטנדרטי.
אכן, אם \(P\in\mathbb{F}[x]_{\le n}\) אז קיים \(k\le n\) כך ש- \(P=a_{k}x^{k}+\dots+a_{1}x+a_{0}\). אז \[P=a_{0}\cdot1+a_{1}\cdot x+\dots+a_{k}\cdot x^{k}\in\text{Span }(1,x,\dots,x^{n})\] לכן \((1,x,x^{2},\dots,x^{n})\) פורשת את \(\mathbb{F}[x]_{\le n}\).
כמו כן, אם \(c_{0},c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\) הם סקלרים כך ש- \[c_{0}\cdot1+c_{1}\cdot x+\dots+c_{n}x^{n}=0_{V}\] אז \(c_{0}=c_{1}=\dots=c_{n}=0\).
זה נובע מהגדרת שוויון בין פולינומים: הביטוי שווה לפולינום האפס (\(0_{V}\)), ופולינום שווה זהותית לאפס אם ורק אם כל המקדמים (הסקלרים \(c_{i}\)) שלו הם אפס.
לפיכך \((1,x,x^{2},\dots,x^{n})\) היא בת”ל ולכן \(\dim\mathbb{F}[x]_{\le n}=n+1\).
טענה [אם יש בסדרה יותר וקטורים מלבסיס היא ת”ל ואם פחות היא לא פורשת]
יהי \(V\) מ"ו נ"ס מעל \(\mathbb{F}\) כך ש- \(\dim V=m\).
תהי \((v_{1},\dots,v_{n})\) סדרה כלשהי של וקטורים מ-\(V\). אזי:
אם \(m<n\) אז \((v_{1},\dots,v_{n})\) ת"ל.
אם \(m>n\) אז \((v_{1},\dots,v_{n})\) אינה פורשת.
הוכחה
קיים בסיס \((w_{1},\dots,w_{m})\) של \(V\).
אם \(m<n\) מאחר ש- \(v_{1},\dots,v_{n}\in\text{Span }(w_{1},\dots,w_{m})\) נובע מהמשפט המרכזי כי \((v_{1},\dots,v_{n})\) ת"ל.
נניח בשלילה כי \((v_{1},\dots,v_{n})\) פורשת, כלומר \[\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})=V\] אם \(n<m\), מאחר ש- \(w_{1},\dots,w_{m}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})\) נובע מהמשפט המרכזי כי \((w_{1},\dots,w_{m})\) ת"ל, בסתירה לכך ש- \((w_{1},\dots,w_{m})\) בסיס. לפיכך \((v_{1},\dots,v_{n})\) אינה פורשת.
הערה [מה אם \(m=n\)?]
אם בהנחות הטענה מתקיים \(m=n\), הסדרה \((v_{1},\dots,v_{n})\) לא חייבת להיות בסיס של \(V\).
לדוגמה: \[V=\mathbb{R}^{2},\quad\dim\mathbb{R}^{2}=2,\quad S=\left(\begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\ 2 \end{pmatrix}\right)\]
אז יש ב- \(S\) 2 וקטורים אבל \(\text{Span }S\neq\mathbb{R}^{2}\) וגם \(S\) ת"ל.
למה 1 [הסרת וקטור תלוי מסדרה פורשת]
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), \((v_{1},\dots,v_{n})\) סדרה פורשת של וקטורים מ-\(V\) כך ש- \(v_{n}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n-1})\). אזי גם \((v_{1},\dots,v_{n-1})\) פורשת.
הוכחה
לכל \(1\le i\le n-1\) מתקיים \(v_{i}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n-1})\).
בנוסף \(v_{n}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n-1})\), כלומר
\[v_{1},\dots,v_{n-1},v_{n}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n-1})\]
מאחר ש- \(\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n-1})\) הוא תמ”ו מתקיים \[V=\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})\subseteq\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n-1})\] לפיכך \((v_{1},\dots,v_{n-1})\) פורשת.
למה 2 [הוספת וקטור לא תלוי לסדרה בת”ל]
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\). תהי \((v_{1},\dots,v_{n})\) סדרה בת"ל של וקטורים מ-\(V\) ויהי \(v_{n+1}\in V\) כך ש- \(v_{n+1}\notin\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})\). אז גם \((v_{1},\dots,v_{n},v_{n+1})\) בת"ל.
הוכחה
נניח בשלילה כי \((v_{1},\dots,v_{n},v_{n+1})\) ת"ל. אז לפי טענה [אפיון ת”ל בעזרת ספאן סדרת הוקטורים הקודמים], קיים \(1\le i\le n+1\) כך ש- \(v_{i}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{i-1})\).
אם \(i\le n\), אז \((v_{1},\dots,v_{n})\) ת”ל וזו סתירה (לנתון).
אם \(i=n+1\) אז \(v_{n+1}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})\) וזו סתירה (לנתון).
לכן \((v_{1},\dots,v_{n+1})\) בת"ל.
טענה [סדרה עם מספר וקטורים כלבסיס היא פורשת \(\iff\) בת”ל]
יהי \(V\) מ"ו נ"ס מעל \(\mathbb{F}\) כך ש- \(\dim V=n\).
תהי \((v_{1},\dots,v_{n})\) סדרה כלשהי של וקטורים מ-\(V\).
אז \((v_{1},\dots,v_{n})\) פורשת אם"ם \((v_{1},\dots,v_{n})\) בת"ל.
הוכחה
\(\Leftarrow\): נניח כי \((v_{1},\dots,v_{n})\) פורשת.
נניח בשלילה כי \((v_{1},\dots,v_{n})\) ת"ל.
אז קיים \(1\le i\le n\) כך ש- \[v_{i}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_{n})\] בלי הגבלת הכלליות \(i=n\), כלומר \[v_{n}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n-1})\] אז לפי למה 1 גם \((v_{1},\dots,v_{n-1})\) פורשת.
מאחר ש- \(\dim V=n>n-1\) לפי הטענה הקודמת \((v_{1},\dots,v_{n-1})\) אינה פורשת והגענו לסתירה.
\(\Rightarrow\): נניח כי \((v_{1},\dots,v_{n})\) בת"ל.
נניח בשלילה כי \((v_{1},\dots,v_{n})\) אינה פורשת.
כלומר קיים \(v\in V\) כך ש- \(v\notin\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})\).
אז לפי למה 2 גם \((v_{1},\dots,v_{n},v)\) בת"ל.
מאחר ש- \(\dim V=n<n+1\), לפי הטענה הקודמת \((v_{1},\dots,v_{n},v)\) ת"ל והגענו לסתירה.
\(\square\)
טענה [כל סדרה פורשת מכילה תת-סדרה שהיא בסיס]
יהי \(V\) מ"ו נ"ס מעל \(\mathbb{F}\) כך ש \(\dim V=n\).
תהי \((v_{1},\dots,v_{m})\) סדרה פורשת של וקטורים מ-\(V\).
אז \(n\le m\) וקיימת תת-סדרה \((v_{i_{1}},\dots,v_{i_{n}})\) של סדרה זו אשר מהווה בסיס של \(V\).
הוכחה
אם \(m=n\), הטענה נובעת מהטענה הקודמת.
אם \(m>n\) אז \((v_{1},\dots,v_{m})\) ת"ל, כלומר קיים \(1\le i\le m\) כך ש- \[v_{i}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_{m})\] בלי הגבלת הכלליות \(i=m\), כלומר \(v_{m}\in\text{Span }(v_{1},\dots,v_{m-1})\).
אז לפי למה 1 הסדרה \((v_{1},\dots,v_{m-1})\) פורשת.
אם \(m-1=n\), אז \((v_{1},\dots,v_{m-1})\) בסיס של \(V\).
אם \(m-1>n\) נמשיך בתהליך הורדת הוקטורים מהסדרה, עד שנגיע לסדרה פורשת באורך \(n\). אז סדרה זו תהיה בסיס של \(V\).