אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
בתזכורת עברנו על למה 1, למה 2, והטענה האחרונה מההרצאה הקודמת.
מסקנה [סדרה פורשת סופית \(\Leftarrow\) נוצר סופית]
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\). אם ב-\(V\) קיימת סדרה פורשת סופית, אז \(V\) נוצר סופית.
טענה [השלמת סדרה בת”ל לבסיס של תמ”ו]
יהיו \(V\) מ"ו נ"ס מעל \(\mathbb{F}\), \(U\) תת-מרחב של \(V\), \((v_{1},\dots,v_{m})\) סדרה בת"ל של וקטורים מ-\(U\). אז קיימים \(v_{m+1},\dots,v_{k}\in U\) כך ש- \((v_{1},\dots,v_{m},v_{m+1},\dots,v_{k})\) בסיס של \(U\).
הוכחה
אם \(\text{Span }(v_{1},\dots,v_{m})=U\), אז \((v_{1},\dots,v_{m})\) בסיס של \(U\).
אחרת קיים \(v_{m+1}\in U\) כך ש- \(v_{m+1}\notin\text{Span }(v_{1},\dots,v_{m})\).
אז לפי למה 2, \((v_{1},\dots,v_{m},v_{m+1})\) בת"ל.
נחזור על התהליך עבור הסדרה \((v_{1},\dots,v_{m+1})\).
מאחר שאורך סדרה בת"ל ב-\(V\) לא יכול להיות גדול מ- \(\dim V\), התהליך יסתיים בשלב כלשהו וכך נקבל בסיס של \(U\), כנדרש.
מסקנה 1 [משפט ההשלמה לבסיס]
יהיו \(V\) מ"ו נ"ס מעל \(\mathbb{F}\), \((v_{1},\dots,v_{m})\) סדרה בת"ל של וקטורים מ-\(V\).
אז קיימים וקטורים \(v_{m+1},\dots,v_{n}\in V\) כך ש- \((v_{1},\dots,v_{m},v_{m+1},\dots,v_{n})\) בסיס של \(V\).
מסקנה 2 [תת-מרחב של מ”ו נ”ס הוא נ”ס]
יהי \(V\) מ"ו נ"ס מעל \(\mathbb{F}\), \(U\) תת-מרחב של \(V\). אז \(U\) גם נ"ס.
הוכחה
הסדרה הריקה \(()\) היא סדרה בת"ל של וקטורים מ-\(U\). אז לפי הטענה [השלמת סדרה בת”ל לבסיס של תמ”ו] קיימים \(u_{1},\dots,u_{k}\in U\) כך ש- \((u_{1},\dots,u_{k})\) בסיס של \(U\), לכן \(U\) נ"ס.
טענה [מימד של תת-מרחב, ושוויון מימדים גורר שוויון]
יהי \(V\) מ"ו נ"ס מעל \(\mathbb{F}\), \(U\) תת-מרחב של \(V\). אז:
\(\dim U\le\dim V\)
אם \(\dim U=\dim V\), אז \(U=V\). (אפשר לכתוב גם בתור אם"ם, הכיוון השני טריוויאלי)
הוכחה
נסמן \(\dim U=m,\dim V=n\). אז קיים בסיס \((u_{1},\dots,u_{m})\) של \(U\). נניח בשלילה כי \(m>n\). אז \((u_{1},\dots,u_{m})\) ת"ל, בסתירה לזה שהיא בסיס.
נסמן \(\dim U=\dim V=n\). אז קיים בסיס \((u_{1},\dots,u_{n})\) של \(U\). נניח בשלילה כי \(U\neq V\). \(U\) תת מרחב של \(V\) אז \(U\subseteq V\) וגם \(V\not\subseteq U\). אז קיים \(v\in V\) כך ש- \(v\notin U\). מכאן \(v\notin\text{Span }(u_{1},\dots,u_{n})\). כמו כן \((u_{1},\dots,u_{n})\) בת"ל. אז לפי למה 2 הסדרה \((u_{1},\dots,u_{n},v)\) גם בת"ל. מצד שני מאחר שאורך הסדרה \((u_{1},\dots,u_{n},v)\) שווה ל- \(n+1\) ו- \(\dim V=n<n+1\), אנו מסיקים כי היא ת"ל וזו סתירה.
\(\square\)
הוכחה נוספת ל-2
נסמן \(\dim U=\dim V=n\). אז קיים בסיס \((u_{1},\dots,u_{n})\) של \(U\). אז \((u_{1},\dots,u_{n})\) סדרה בת"ל באורך \(n\) של וקטורים מ-\(V\). לכן היא פורשת את \(V\), כלומר \(U=\text{Span }(u_{1},\dots,u_{n})=V\).
\(\square\)
בזה סיימנו את הפרק על בסיסים ומימדים.
הגדרה - סכום של קבוצות (במ”ו)
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\). יהיו \(S_{1},S_{2}\) תת-קבוצות לא ריקות של \(V\). נגדיר \[S_{1}+S_{2}=\{u+v\mid u\in S_{1},v\in S_{2}\}\] \(S_{1},S_{2}\) הן תת-קבוצות, לא תת-מרחבים.
דוגמה
\[\mathbb{F}=\mathbb{R},V=\mathbb{R}\] \[S_{1}=\{1,2\},\quad S_{2}=\{3,4\}\] \[S_{1}+S_{2}=\{4,5,6\}\]
הגדרה - ישריה
הערה
אם \(S_{1}=\{v\}\) אז \[S_{1}+S_{2}=\{v\}+S_{2}=\{v+w\mid w\in S_{2}\}\]
ההגדרה
יהיו \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), \(v\in V\), \(U\) תת-מרחב של \(V\).
קבוצה \(\{v\}+U\) נקראת ישריה (מהמילה ישר).
דוגמה
\[\mathbb{F}=\mathbb{R},\quad V=\mathbb{R}^{2},\quad v=\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}\quad U=\text{Span }\left\{ \begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix}\right\}\]
(בציור רואים את הישר \(U\) עובר בראשית, ואת הישר המוזז \(v+U\) עובר דרך \(v\)).
טענה [הפתרונות של \(Ax=b\) הם הזזה של הפתרונות של \(Ax=0\)]
יהיו \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\), \(b\in\mathbb{F}^{m}\), יהי \(v\in\mathbb{F}^{n}\) פתרון של ממ”ל \(Ax=b\).
נסמן ב- \(U\) את קבוצת הפתרונות של הממ"ל ההומוגנית \(Ax=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\).
אזי קבוצת הפתרונות של הממ"ל \(Ax=b\) היא \(\{v\}+U\).
הוכחה
נוכיח כי \(\{v\}+U\subseteq\{x\in\mathbb{F}^{n}\mid Ax=b\}\).
יהי \(w\in\{v\}+U\).
אז קיים \(u\in U\) כך ש-\(w=v+u\). מתקיים \(Au=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\). אז \[Aw=A(v+u)=Av+Au=b+\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}=b\] לכן \(w\) הוא פתרון של הממ"ל \(Ax=b\).
נוכיח כי \(\{x\in\mathbb{F}^{n}\mid Ax=b\}\subseteq\{v\}+U\).
יהי \(w\) פתרון כלשהו של הממ"ל \(Ax=b\). מתקיים \[A(w-v)=Aw-Av=b-b=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\] לכן \(w-v\) הוא פתרון של הממ"ל ההומוגנית \(Ax=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\) ולפיכך \(w-v\in U\). לסיום \[w=v+(w-v)\in\{v\}+U\] \(\square\)
מסקנה [קבוצת הפתרונות של ממ”ל פתירה היא ישריה]
אם לממ"ל ב-\(n\) נעלמים קיים פתרון כלשהו, אז קבוצת הפתרונות שלה היא ישריה ב-\(\mathbb{F}^{n}\).
למה [אם \(0_{V}\in S_{1}\) אז \(S_{2}\subseteq S_{1}+S_{2}\)]
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\) ויהיו \(S_{2}\subseteq V\), \(0_{V}\in S_{1}\subseteq V\). אז \(S_{2}\subseteq S_{1}+S_{2}\).
הוכחה
יהי \(v\in S_{2}\). אז מתקיים \[v=0_{V}+v\in S_{1}+S_{2}\]
טענה [חיבור ספאנים שווה לספאן של האיחוד]
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\) ויהיו \(S_{1},S_{2}\subseteq V\) . אז \[\text{Span }S_{1}+\text{Span }S_{2}=\text{Span }(S_{1}\cup S_{2})\]