אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
תזכורת
למה מאתמול
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), \(S_{1},S_{2}\subseteq V\). אם \(0_{V}\in S_{1}\) אז \(S_{2}\subseteq S_{1}+S_{2}\).
טענה [חיבור ספאנים שווה לספאן של האיחוד]
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), \(S_{1},S_{2}\subseteq V\). אז \[\text{Span }S_{1}+\text{Span }S_{2}=\text{Span }(S_{1}\cup S_{2})\]
הוכחה
נוכיח כי \(\text{Span }(S_{1}\cup S_{2})\subseteq\text{Span }S_{1}+\text{Span }S_{2}\). יהי \(w\in\text{Span }(S_{1}\cup S_{2})\).
אז קיימים \(c_{1},\dots,c_{k}\in\mathbb{F}\), \(w_{1},\dots,w_{k}\in S_{1}\cup S_{2}\) כך ש- \(w=c_{1}w_{1}+\dots+c_{k}w_{k}\). אחרי שינוי סדר של \(w_{1},\dots,w_{k}\) ניתן להגיע למצב שבו \(w_{1},\dots,w_{l}\in S_{1},\quad w_{l+1},\dots,w_{k}\in S_{2}\). אז \[w=(c_{1}w_{1}+\dots+c_{l}w_{l})+(c_{l+1}w_{l+1}+\dots+c_{k}w_{k})\in\text{Span }S_{1}+\text{Span }S_{2}\] נוכיח כי \(\text{Span }S_{1}+\text{Span }S_{2}\subseteq\text{Span }(S_{1}\cup S_{2})\). יהי \(w\in\text{Span }S_{1}+\text{Span }S_{2}\).
אז קיימים \(u\in\text{Span }S_{1},\quad v\in\text{Span }S_{2}\) כך ש- \(w=u+v\).
לכן קיימים \(c_{1},\dots,c_{m}\in\mathbb{F}\), \(u_{1},\dots,u_{m}\in S_{1}\) כך ש- \(u=c_{1}u_{1}+\dots+c_{m}u_{m}\).
בנוסף קיימים \(d_{1},\dots,d_{n}\in\mathbb{F}\), \(v_{1},\dots,v_{n}\in S_{2}\) כך ש- \(v=d_{1}v_{1}+\dots+d_{n}v_{n}\). לכן \[w=c_{1}u_{1}+\dots+c_{m}u_{m}+d_{1}v_{1}+\dots+d_{n}v_{n}\in\text{Span }(S_{1}\cup S_{2})\]
\(\square\)
מסקנה [סכום תתי-מרחבים הוא תמ”ו]
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\) ויהיו \(U_{1},U_{2}\) תתי-מרחבים של \(V\).
אז \(U_{1}+U_{2}=\text{Span }(U_{1}\cup U_{2})\). ובפרט סכום של תתי-מרחבים הוא תת-מרחב.
הוכחה
לפי הטענה הקודמת מתקיים \[U_{1}+U_{2}=\text{Span }U_{1}+\text{Span }U_{2}=\text{Span }(U_{1}\cup U_{2})\]
משפט המימדים הראשון (חשוב)
יהי \(V\) מ"ו נ”ס מעל שדה \(\mathbb{F}\) ויהיו \(U_{1},U_{2}\) תתי-מרחבים של \(V\). אז \[\dim(U_{1}+U_{2})=\dim(U_{1})+\dim(U_{2})-\dim(U_{1}\cap U_{2})\]
הוכחה
\(U_{1}\cap U_{2}\) הוא תת-מרחב של \(V\) ולכן הוא נ”ס וקיים בסיס \((v_{1},\dots,v_{k})\) של \(U_{1}\cap U_{2}\).
בנוסף קיימים \(u_{1},\dots,u_{m}\in U_{1}\) כך ש- \((v_{1},\dots,v_{k},u_{1},\dots,u_{m})\) היא בסיס של \(U_{1}\). כמו כן קיימים \(w_{1},\dots,w_{n}\in U_{2}\) כך ש- \((v_{1},\dots,v_{k},w_{1},\dots,w_{n})\) היא בסיס של \(U_{2}\). נוכיח כי \[(v_{1},\dots,v_{k},u_{1},\dots,u_{m},w_{1},\dots,w_{n})=B\] היא בסיס של \(U_{1}+U_{2}\).
נסמן \[S_{1}=\{v_{1},\dots,v_{k},u_{1},\dots,u_{m}\}\] \[S_{2}=\{v_{1},\dots,v_{k},w_{1},\dots,w_{n}\}\] אז \[\text{Span }S_{1}=U_{1},\quad\text{Span }S_{2}=U_{2}\] . לפי הטענה הקודמת \[U_{1}+U_{2}=\text{Span }S_{1}+\text{Span }S_{2}=\text{Span }(S_{1}\cup S_{2})=\text{Span }(v_{1},\dots,v_{k},u_{1},\dots,u_{m},w_{1},\dots,w_{n})\] לכן \(B\) פורשת את \(U_{1}+U_{2}\).
יהיו \(a_{1},\dots,a_{k},b_{1},\dots,b_{m},c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\) כך ש- \[a_{1}v_{1}+\dots+a_{k}v_{k}+b_{1}u_{1}+\dots+b_{m}u_{m}+c_{1}w_{1}+\dots+c_{n}w_{n}=0_{V}\] מכאן \[\underbrace{a_{1}v_{1}+\dots+a_{k}v_{k}+b_{1}u_{1}+\dots+b_{m}u_{m}}_{\in U_{1}}=\underbrace{-(c_{1}w_{1}+\dots+c_{n}w_{n})}_{\in U_{2}}\] מכאן \[-c_{1}w_{1}-\dots-c_{n}w_{n}\in U_{1}\cap U_{2}\] לכן קיימים \(d_{1},\dots,d_{k}\in\mathbb{F}\) כך ש- \[-c_{1}w_{1}-\dots-c_{n}w_{n}=d_{1}v_{1}+\dots+d_{k}v_{k}\] מכאן \[d_{1}v_{1}+\dots+d_{k}v_{k}+c_{1}w_{1}+\dots+c_{n}w_{n}=0_{V}\] ומאחר ש- \((v_{1},\dots,v_{k},w_{1},\dots,w_{n})\) בת"ל אנו מסיקים כי \[d_{1}=\dots=d_{k}=c_{1}=\dots=c_{n}=0\] מכאן נובע כי \[a_{1}v_{1}+\dots+a_{k}v_{k}+b_{1}u_{1}+\dots+b_{m}u_{m}=0_{V}\] מאחר ש- \((v_{1},\dots,v_{k},u_{1},\dots,u_{m})\) בת"ל אנו מסיקים כי \[a_{1}=\dots=a_{k}=b_{1}=\dots=b_{m}=0\] לכן \(B\) בת"ל. לסיום \[\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2})\] \[=(k+m)+(k+n)-k=k+m+n=\dim(U_{1}+U_{2})\]
\(\square\)
הגדרה - נמצאים בסכום ישר
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), יהיו \(U_{1},U_{2}\) תת-מרחבים.
אומרים כי \(U_{1},U_{2}\) נמצאים בסכום ישר כאשר \(U_{1}\cap U_{2}=\{0_{V}\}\).
מסקנה מהמשפט
יהי \(V\) מ"ו נ"ס מעל \(\mathbb{F}\), יהיו \(U_{1},U_{2}\) תת-מרחבים של \(V\).
אז \(U_{1},U_{2}\) נמצאים בסכום ישר אם"ם \[\dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}\]
הוכחה
\(U_{1},U_{2}\) נמצאים בסכום ישר אם”ם \(U_{1}\cap U_{2}=\{0_{V}\}\).
זה מתקיים אם”ם \(\dim(U_{1}\cap U_{2})=0\). ולפי משפט המימדים הראשון זה מתקיים אם”ם \[\dim(U_{1}+U_{2})-\dim U_{1}-\dim U_{2}=0\]
וזה מתקיים אם”ם \[\dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}\] וסיימנו.
\(\square\)
טענה [יחידות ההצגה בסכום ישר]
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), יהיו \(U_{1},U_{2}\) תת-מרחבים של \(V\).
אז \(U_{1},U_{2}\) נמצאים בסכום ישר אם"ם לכל \(v\in U_{1}+U_{2}\) קיימים \(u\in U_{1},w\in U_{2}\) יחידים כך ש- \(v=u+w\).
הוכחה
\(\Leftarrow\): יהי \(v\in U_{1}+U_{2}\).
לפי ההגדרה של הסכום קיימים \(u\in U_{1},w\in U_{2}\) כך ש- \(v=u+w\).
נניח כי קיימים \(u'\in U_{1},w'\in U_{2}\) כך ש- \(v=u'+w'\).
אז \(u+w=u'+w'\) מכאן \[\underbrace{u-u'}_{\in U_{1}}=\underbrace{w'-w}_{\in U_{2}}\] לפיכך \(w'-w\in U_{1}\cap U_{2}\).
אבל הם נמצאים בסכום ישר ולכן \(U_{1}\cap U_{2}=\{0_{V}\}\) לכן \(w'-w=0_{V}\) ומכאן \(w=w'\). בנוסף \(u-u'=0_{V}\) ומכאן \(u=u'\).
\(\Rightarrow\): נניח בשלילה כי \(U_{1},U_{2}\) אינם נמצאים בסכום ישר.
כלומר קיים \(0_{V}\neq w\in U_{1}\cap U_{2}\). אז ל-\(w\) יש את שתי ההצגות הבאות: \[w=\underset{\in U_{1}}{0_{V}}+\underset{\in U_{2}}{w}\] \[w=\underset{\in U_{1}}{w}+\underset{\in U_{2}}{0_{V}}\] וזו סתירה להנחה.
\(\square\)
טענה [לכל תמ”ו קיים תמ”ו משלים, המשלים בסכום ישר]
יהיו \(V\) מ"ו נ"ס מעל \(\mathbb{F}\), \(U\) תת-מרחב של \(V\).
אז קיים תת-מרחב \(W\) של \(V\) כך ש- \(U,W\) נמצאים בסכום ישר וגם \(V=U+W\).
הוכחה
\(U\) נ"ס לכן קיים בסיס \((v_{1},\dots,v_{k})\) של \(U\).
בנוסף קיימים \(v_{k+1},\dots,v_{n}\in V\) (משפט ההשלמה לבסיס) כך ש- \((v_{1},\dots,v_{k},v_{k+1},\dots,v_{n})\) בסיס של \(V\).
נגדיר \(W=\text{Span }(v_{k+1},\dots,v_{n})\).
הסדרה \((v_{k+1},\dots,v_{n})\) בת"ל ולכן היא בסיס של \(W\). \[U+W=\text{Span }(v_{1},\dots,v_{k})+\text{Span }(v_{k+1},\dots,v_{n})\] \[=\text{Span }(v_{1},\dots,v_{n})=V\] \[\dim(U+W)=\dim(V)=n=k+(n-k)\] \[=\dim U+\dim W\] לכן לפי המסקנה \(U,W\) נמצאים בסכום ישר.
סימון של סכום ישר
כאשר תת-מרחבים \(U_{1},U_{2}\) נמצאים בסכום ישר רושמים \[U_{1}+U_{2}=U_{1}\oplus U_{2}\]