אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
היום נתחיל פרק חדש בקורס: העתקות לינאריות. אלה פונקציות שמקיימות אקסיומות מסוימות.
כמו שראינו בתיכון אפשר לפתור משוואות בעזרת פונקציות:
כלומר, בשביל לפתור את המשווה \(2x=6\), משתמשים בפונקציה \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f(x)=2x\), ומגלים ש- \(f^{-1}(\{6\})=\{3\}\).
באופן דומה, אפשר לעשות את זה בממ"ל \(Ax=b\). אם \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F}),\ b\in\mathbb{F}^{m}\) מסתכלים על הפונקציה \(f:\mathbb{F}^{n}\rightarrow\mathbb{F}^{m}\) המוגדרת ע”י \(f(x)=Ax\), ומקבלים שקבוצת הפתרונות היא \(f^{-1}(\{b\})\).
אנחנו יודעים שהפונקציה הזאת מקיימת תכונות חשובות. כמו שראינו: \[A(x+y)=Ax+Ay\] \[A(cx)=c(Ax)\]
שתי התכונות האלה אנחנו נבחר בתור האקסיומות של ה"ל.
העתקות לינאריות
יהי \(\mathbb{F}\) שדה. יהיו \(V,W\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\). העתקה לינארית מ-\(V\) ל-\(W\) היא פונקציה \(T:V\to W\) כך שמתקיים:
\[1)\qquad\forall v_{1},v_{2}\in V:\quad T(v_{1}+v_{2})=T(v_{1})+T(v_{2})\]
\[2)\qquad\forall c\in\mathbb{F},v\in V:\quad T(cv)=cT(v)\]
דוגמאות
1) \(V,W\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\). נגדיר \(T:V\to W\) ע"י: \[\forall v\in V:\quad T(v)=0_{W}\] העתקה זו נקראת העתקת האפס.
2) \(V\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\) (\(V=W\)). נגדיר \(T:V\to V\) ע"י: \[\forall v\in V:\quad T(v)=v\] העתקה זו נקראת העתקת הזהות, \(Id_{V}\).
3) \(V=\mathbb{F}^{n},W=\mathbb{F}^{m}\), \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\). נגדיר \(T_{A}:\mathbb{F}^{n}\to\mathbb{F}^{m}\) ע"י: \[\forall v\in\mathbb{F}^{n}:\quad T_{A}(v)=Av\]
\(T_{A}\) היא העתקה לינארית כי לכל \(v_{1},v_{2}\in\mathbb{F}^{n}\) מתקיים: \[T_{A}(v_{1}+v_{2})=A(v_{1}+v_{2})=Av_{1}+Av_{2}=T_{A}(v_{1})+T_{A}(v_{2})\] ולכל \(c\in\mathbb{F},v\in\mathbb{F}^{n}\) מתקיים: \[T_{A}(cv)=A(cv)=c(Av)=cT_{A}(v)\]
בהמשך הקורס נראה אפילו שכל ה”ל ניתן לייצג באמצעות מטריצה.
4) \(\mathbb{F}\) שדה, \(S\) קבוצה. \(V=\mathbb{F}^{S}\) זה מרחב הפונקציות מ-\(S\) ל-\(\mathbb{F}\). \(W=\mathbb{F}\), \(a\in S\). נגדיר \(T_{a}:\mathbb{F}^{S}\to\mathbb{F}\) ע"י: \[\forall f:S\to\mathbb{F}:\quad T_{a}(f)=f(a)\]
מתקיים ש-\(T_{a}\) היא העתקה לינארית כי לכל \(f_{1},f_{2}:S\to\mathbb{F}\) מתקיים: \[T_{a}(f_{1}+f_{2})=(f_{1}+f_{2})(a)=f_{1}(a)+f_{2}(a)=T_{a}(f_{1})+T_{a}(f_{2})\] וגם לכל \(c\in\mathbb{F},f:S\to\mathbb{F}\) מתקיים: \[T_{a}(cf)=(cf)(a)=c(f(a))=cT_{a}(f)\] נזכיר: כשדיברנו על דוגמאות של מרחבים וקטוריים אחת הדוגמאות הייתה מרחב הפונקציות, שם הגדרנו חיבור וכפל בסקלר של פונקציות.
תכונות של העתקות לינאריות (ה”ל)
יהיו \(V,W\) מ"ו מעל שדה \(\mathbb{F}\), \(T:V\to W\) ה"ל. אז:
1) \(T(0_{V})=0_{W}\)
הוכחה
\[T(0_{V})=T(0\cdot0_{V})\underset{\text{(2)}}{=}0\cdot T(0_{V})=0_{W}\]
2) \(T(-v)=-T(v)\)
הוכחה \[T(-v)=T((-1)v)\underset{\text{ (2)}}{=}(-1)T(v)=-T(v)\]
3) \(\forall v_{1},\dots,v_{n}\in V,\ c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\quad:\quad T(c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n})=c_{1}T(v_{1})+\dots+c_{n}T(v_{n})\)
הוכחה
\[T(c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n})\underset{\text{(1)}}{=}T(c_{1}v_{1})+\dots+T(c_{n}v_{n})\underset{\text{(2)}}{=}c_{1}T(v_{1})+\dots+c_{n}T(v_{n})\]
בינתיים ראינו הגדרה של ה”ל, דוגמאות וכמה תכונות פשוטות וחשובות.
עכשיו נראה שבהינתן ה”ל ממרחב וקטורי אחד לשני אפשר להגדיר שתי תת קבוצות חשובות, אחת בתחום ההגדרה ואחת בטווח, המוכרות בשמות הגרעין והתמונה של העתקה לינארית.
גרעין ותמונה
יהי \(\mathbb{F}\) שדה, \(V,W\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), \(T:V\to W\) ה"ל.
הגרעין של \(T\) מוגדר ע"י: \[\ker T=T^{-1}(\{0_{W}\})=\{v\in V\mid T(v)=0_{W}\}\]
התמונה של \(T\) מוגדרת ע"י: \[\operatorname{Im}(T)=T(V)=\{T(v)\mid v\in V\}\]
חשוב להבין שהתמונה היא תת קבוצה של \(W\), בניגוד לגרעין שהוא תת קבוצה של \(V\).
למה שתי הקבוצות האלה כ"כ חשובות? קודם כל כי כל אחת מהן מהווה תמ"ו (אבל של מרחבים שונים). עכשיו נציג את זה בתור טענה.
טענה [תמונה וגרעין הם תמ”ו]
יהיו \(V,W\) מ”ו מעל \(\mathbb{F}\), \(T:V\rightarrow W\) ה”ל.
אז 1) \(\ker T\) הוא תת-מרחב של \(V\).
2) \(\operatorname{Im}T\) היא תת-מרחב של \(W\).
הוכחה
1) \(0_{V}\in\ker T\) כי \(T(0_{V})=0_{W}\). יהיו \(v_{1},v_{2}\in\ker T\).
אז \(T(v_{1})=T(v_{2})=0_{W}\) אז \(T(v_{1}+v_{2})\underset{(\text{1})}{=}T(v_{1})+T(v_{2})=0_{W}+0_{W}=0_{W}\)
לכן \(v_{1}+v_{2}\in\ker T\).
בזה בדקנו שהגרעין סגור לחיבור, בדומה אפשר לבדוק שסגור לכפל בסקלר.
יהי \(v\in\ker T\), \(c\in\mathbb{F}\). אז \(T(v)=0_{W}\). מכאן \(T(cv)\underset{(2)}{=}cT(v)=c\cdot0_{W}=0_{W}\), לכן \(cv\in\ker T\).
2) \(0_{W}\in\operatorname{Im}T\) כי \(T(0_{V})=0_{W}\).
יהיו \(w_{1},w_{2}\in\operatorname{Im}T\). אז קיימים \(v_{1},v_{2}\in V\) כך ש- \(T(v_{1})=w_{1},T(v_{2})=w_{2}\).
מתקיים \(T(v_{1}+v_{2})\underset{\text{(1)}}{=}T(v_{1})+T(v_{2})=w_{1}+w_{2}\)
לכן \(w_{1}+w_{2}\in\operatorname{Im}T\).
יהי \(c\in\mathbb{F}\quad,w\in\operatorname{Im}T\). אזי קיים \(v\in V\) כך ש- \(T(v)=w\). מתקיים \[T(cv)\underset{\text{(2)}}{=}cT(v)=cw\] לכן \(cw\in\operatorname{Im}T\).
בזה הוכחנו שכל האקסיומות של תמ"ו מתקיימות עבור התמונה והגרעין.
עכשיו נחזור לכמה דוגמאות של ה"ל ונראה מה הגרעין והתמונה בכל אחת.
דוגמאות [לגרעין ותמונה בה”ל נפוצות]
1) \(\forall v\in V:T(v)=0_{W}\qquad,T:V\to W\). \[\ker T=V\qquad\operatorname{Im}T=\{0_{W}\}\]
2) \(\forall v\in V:Id_{V}(v)=v\qquad,\text{Id}_{V}:V\to V\). \[\ker Id_{V}=\{0_{V}\}\qquad\operatorname{Im}Id_{V}=V\]
בדוגמה 2 הגרעין הוא הכי קטן שיכול להיות ובדוגמה 1 הכי גדול שיכול להיות. אבל למעשה יש רק ה"ל אחת בין שני מ"ו שמקיימת את זה (שהגרעין הוא התחום והתמונה היא וקטור האפס) כמו בדוגמה 1, לעומת זאת יש הרבה מאוד העתקות שונות מזהות שמקיימות את זה כמו בדוגמה 2.
3) \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F}),V=\mathbb{F}^{n},W=\mathbb{F}^{m}\).
\(T_{A}:\mathbb{F}^{n}\to\mathbb{F}^{m}\), \(\forall v\in\mathbb{F}^{n}:T_{A}(v)=Av\).
\[\ker T_{A}=\{v\in\mathbb{F}^{n}\mid Av=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\}\] זוהי קבוצת הפתרונות של ממ”ל \(Ax=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\).
\[\operatorname{Im}T_{A}=\{Av\mid v\in\mathbb{F}^{n}\}=\{b\in\mathbb{F}^{m}\mid\exists v\in\mathbb{F}^{n}\text{ s.t }Av=b\}\] זהו אוסף ה-\(m\)-יות כך שלממ”ל \(Ax=b\) קיים פתרון.