הרצאה 16 - 09.12.2025

תזכורת

התחלנו לדבר על ה"ל, גרעין, תמונה. ראינו שכל אחד מהם תמ"ו (של תחום וטווח בהתאמה). היום נמשיך לדבר על המושגים האלה ונראה תכונות נוספות שלהם, ביניהן את משפט הממדים השני. קודם כל נרצה לראות איך התמ"וים האלה, גרעין ותמונה, קשורים לתכונות של ה"ל כפונקציה, כלומר פונקציה על או פונקציה חח"ע. נתחיל עכשיו עם תזכורת על המושגים האלה על פונקציות.

הגדרות - פונ’ חח”ע ועל

תהי \(f:A\to B\) פונקציה.

• \(f\) נקראת על כאשר לכל \(y\in B\) קיים \(x\in A\) כך ש- \(f(x)=y\).

• \(f\) נקראת חח"ע כאשר לכל \(x_{1},x_{2}\in A\) כך ש- \(x_{1}\neq x_{2}\) מתקיים \(f(x_{1})\neq f(x_{2})\).

טענה [אפיון חח”ע ועל בעזרת גרעין ותמונה]

יהיו \(V,W\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), \(T:V\to W\) ה"ל. אז:

1. \(T\) היא על אם”ם \(\operatorname{Im}(T)=W\).

2. \(T\) היא חח"ע אם”ם \(\ker(T)=\{0_{V}\}\).

הוכחה

1) מאחר ש- \(\operatorname{Im}(T)=T(V)\), \(T\) היא על אם”ם \(\operatorname{Im}(T)=W\).
2)

\(\Leftarrow\) נניח \(T\) חח"ע.

נניח בשלילה כי \(\ker(T)\not=\{0_{V}\}\), כלומר קיים \(0_{V}\neq v\in\ker(T)\).

אז \(T(v)=0_{W}=T(0_{V})\) לכן \(T\) אינה חח”ע - סתירה.

\(\Rightarrow\) נניח כי \(\ker(T)=\{0_{V}\}\).

נניח בשלילה ש-\(T\) אינה חח"ע. כלומר קיימים \(v_{1},v_{2}\in V\) כך ש- \(v_{1}\neq v_{2}\) (לכן \(v_{1}-v_{2}\neq0\)) וגם \(T(v_{1})=T(v_{2})\). מכאן: \[T(v_{1}-v_{2})=T(v_{1})-T(v_{2})=0_{W}\] לכן \(v_{1}-v_{2}\in\ker(T)\). כמו כן \(v_{1}-v_{2}\neq0_{V}\), כלומר \(\ker(T)\not=\{0_{V}\}\) - סתירה.

תזכורת [תמונה של קבוצה]

תהי \(f:A\to B\) פונקציה, \(C\subseteq A\). אז התמונה של \(C\) ביחס ל-\(f\) היא: \[f(C)=\{f(x)\mid x\in C\}\subseteq B\]

טענה [תמונת ה”ל היא הספאן של תמונת קבוצה פורשת]

יהיו \(V,W\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), \(T:V\to W\) ה"ל, \(S\) תת-קבוצה פורשת של \(V\). אז \(\operatorname{Im}(T)=\text{Span }(T(S))\).

הוכחה

כיוון ראשון \(\supseteq\):

מתקיים \(T(S)\subseteq T(V)=\operatorname{Im}(T)\). בנוסף \(\operatorname{Im}(T)\) הוא תת-מרחב, לכן \(\text{Span }(T(S))\subseteq\operatorname{Im}(T)\).
כיוון שני \(\subseteq\):

יהי \(w\in\operatorname{Im}(T)\). אז קיים \(v\in V\) כך ש- \(T(v)=w\).

מאחר ש- \(S\) פורשת את \(V\), קיימים \(v_{1},\dots,v_{n}\in S\) ו- \(c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\) כך ש: \[v=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\] מכאן \[w=T(v)=T(c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n})=c_{1}T(v_{1})+\dots+c_{n}T(v_{n})\in\text{Span }(T(S))\]

משפט הממדים השני

יהיו \(V,W\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\) כך ש- \(V\) נ”ס, \(T:V\to W\) ה"ל.

אז \(\ker T,\ \operatorname{Im}T\) הם גם נ”ס ומתקיים \[\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=\dim V\]

הוכחה

מאחר ש- \(\ker T\) הוא תת-מרחב של \(V\), הוא נ”ס. נבחר בסיס \((v_{1},\dots,v_{k})\) של \(\ker T\). מאחר שהוא בסיס הוא בת”ל ולכן קיימים \(v_{k+1},\dots,v_{n}\in V\) כך ש- \((v_{1},\dots,v_{k},v_{k+1},\dots,v_{n})\) בסיס של \(V\).

נוכיח כי \((T(v_{k+1}),\dots,T(v_{n}))\) מהווה בסיס של \(\operatorname{Im}T\).

מאחר ש- \((v_{1},\dots,v_{n})\) פורשת את \(V\), לפי הטענה הקודמת מתקיים

\[\text{Span }(T(v_{k+1}),\dots,T(v_{n}))=\text{Span }(\underset{0_{W}}{\underbrace{T(v_{1})}},\dots,\underset{0_{W}}{\underbrace{T(v_{k})}},T(v_{k+1}),\dots,T(v_{n}))=\operatorname{Im}T\] לכן \((T(v_{k+1}),\dots,T(v_{n}))\) פורשת את \(\operatorname{Im}T\).

יהיו \(c_{k+1},\dots,c_{n}\in\mathbb{F}\) כך ש: \[c_{k+1}T(v_{k+1})+\dots+c_{n}T(v_{n})=0_{W}\] מכאן \[T(c_{k+1}v_{k+1}+\dots+c_{n}v_{n})=0_{W}\] ולכן \(c_{k+1}v_{k+1}+\dots+c_{n}v_{n}\in\ker T\).

מאחר ש-\((v_{1},\dots,v_{k})\) פורשת את \(\ker T\), קיימים \(c_{1},\dots,c_{k}\in\mathbb{F}\) כך ש: \[c_{k+1}v_{k+1}+\dots+c_{n}v_{n}=c_{1}v_{1}+\dots+c_{k}v_{k}\] מכאן \[-c_{1}v_{1}-\dots-c_{k}v_{k}+c_{k+1}v_{k+1}+\dots+c_{n}v_{n}=0_{V}\] מאחר ש- \((v_{1},\dots,v_{n})\) בת”ל, מתקיים: \[-c_{1}=\dots=-c_{k}=c_{k+1}=\dots=c_{n}=0\] לפיכך \((T(v_{k+1}),\dots,T(v_{n}))\) בת"ל.

לסיום \[\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=k+(n-k)=n=\dim V\]

טענה [א”ש של מימדים לפי חח”ע ועל]

יהיו \(V,W\) מ"ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\), \(T:V\to W\) ה"ל. אז

1. אם \(T\) חח"ע, אז \(\dim V\le\dim W\).

2. אם \(T\) על, אז \(\dim V\ge\dim W\).

3. אם \(T\) חח”ע ועל, אז \(\dim V=\dim W\).

הוכחה

1. מאחר ש- \(T\) חח"ע, מתקיים \(\ker T=\{0_{V}\}\) ולכן \(\dim\ker T=0\). אז לפי המשפט מתקיים \[\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=\dim\operatorname{Im}T\le\dim W\] (האי-שוויון נובע מכך ש-\(\operatorname{Im}T\) תת-מרחב של \(W\)).

2. מאחר ש- \(T\) על, מתקיים \(\operatorname{Im}T=W\) ולכן \(\dim\operatorname{Im}T=\dim W\). אז לפי המשפט מתקיים \[\dim W=\dim\operatorname{Im}T\le\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=\dim V\]

3. נובע מ-(1) ו-(2).

טענה [ה”ל בין מרחבים נ”ס מאותו מימד היא חח”ע אם”ם היא על]

יהיו \(V,W\) מ"ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\) כך ש-\(\dim V=\dim W\).

תהי \(T:V\to W\) ה"ל. אז \(T\) חח"ע אם”ם \(T\) על.

הוכחה

\(T\) על אם”ם \(\operatorname{Im}T=W\) אם”ם \(\dim\operatorname{Im}T=\dim W\) אם”ם (נתון) \(\dim\operatorname{Im}T=\dim V\) אם”ם (לפי משפט הממדים השני) \(\dim\operatorname{Im}T=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T\) אם”ם \(\dim\ker T=0\) אם”ם \(\ker T=\{0_{V}\}\) אם”ם \(T\) חח”ע.

הגדרה - הרכבת פונקציות

תהיינה \(f:A\to B\), \(g:B\to C\) פונ’.

ההרכבה של \(g\) על \(f\) היא פונקציה \(g\circ f:A\to C\) המוגדרת ע"י: \[\forall x\in A,\quad(g\circ f)(x)=g(f(x))\]

טענה [הרכבת ה”ל היא ה”ל]

יהיו \(U,V,W\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\), \(T_{1}:U\to V\), \(T_{2}:V\to W\) ה"ל.

אז \(T_{2}\circ T_{1}:U\to W\) היא ה"ל.

הוכחה

יהיו \(u_{1},u_{2}\in U\). אז \[(T_{2}\circ T_{1})(u_{1}+u_{2})=T_{2}(T_{1}(u_{1}+u_{2}))\] \(T_{1}\) ה”ל לכן \[=T_{2}(T_{1}(u_{1})+T_{1}(u_{2}))\] \(T_{2}\) ה”ל לכן: \[=T_{2}(T_{1}(u_{1}))+T_{2}(T_{1}(u_{2}))=(T_{2}\circ T_{1})(u_{1})+(T_{2}\circ T_{1})(u_{2})\]

יהי \(c\in\mathbb{F}\), \(u\in U\). אז \[(T_{2}\circ T_{1})(cu)=T_{2}(T_{1}(cu))\] \(T_{1}\) ה”ל לכן \[=T_{2}(cT_{1}(u))\] \(T_{2}\) ה”ל לכן \[=cT_{2}(T_{1}(u))=c(T_{2}\circ T_{1})(u)\]

וסיימנו.