אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
זה היה שיעור השלמה ביום חמישי.
הגדרה - פונ’ הופכיות
יהיו \(f:A\to B\), \(g:B\to A\) פונקציות.
\(f\) ו- \(g\) נקראות הופכיות זו לזו כאשר
\[f\circ g=Id_{B}\quad\wedge\quad g\circ f=Id_{A}\]
כלומר \[\forall a\in A:\ g(f(a))=a\quad\wedge\quad\forall b\in B:\ f(g(b))=b\]
אז \(g,f\) הופכיות זו לזו ועל.
עובדה [הופכיות \(\iff\) חח”ע ועל]
1) אם \(f,g\) הופכיות זו לזו, אז הן חח”ע ועל.
2) אם \(f:A\rightarrow B\) חח”ע ועל, אז קיימת פונ’ \(g:B\rightarrow A\) הופכית ל- \(f\).
טענה [הופכית של ה”ל היא ה”ל]
יהי \(V,W\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\).
\(T:V\to W\) ה"ל חח”ע ועל. נסמן ב- \(T':W\to V\) פונקציה הופכית ל- \(T\). אז \(T'\) היא ה”ל.
הוכחה
יהיו \(w_{1},w_{2}\in W\). נסמן \(v_{1}=T'(w_{1})\), \(v_{2}=T'(w_{2})\).
אז מתקיים \(T(v_{1})=T(T'(w_{1}))=w_{1}\) , \(T(v_{2})=T(T'(w_{2}))=w_{2}\). לכן \[T'(w_{1}+w_{2})=T'(T(v_{1})+T(v_{2}))\underset{\text{\text{T is a Linear Map}}}{=\!=\!=}T'(T(v_{1}+v_{2}))=\] \[=v_{1}+v_{2}=T'(w_{1})+T'(w_{2})\] יהי \(w\in W\), \(c\in\mathbb{F}\). נסמן \(v=T'(w)\). אז \(T(v)=T(T'(w))=w\). לכן \[T'(cw)=T'(cT(v))\underset{\text{T is L.M}}{\!=\!}T'(T(cv))=cv=cT'(w)\]
הגדרה - איזומורפיזם
ה”ל \(T:V\rightarrow W\) כך שקיימת עבורה ה”ל הופכית \(T':W\rightarrow V\) נקראת איזומורפיזם.
יהיו \(V,W\) מ"ו מעל השדה \(\mathbb{F}\). אומרים כי \(V\) איזומורפי ל-\(W\) כאשר קיים איזומורפיזם \(T:V\to W\).
מסקנה [ה”ל חח”ע ועל היא איזומורפיזם]
כל ה"ל חח"ע ועל היא איזומורפיזם.
תכונות איזומורפיזם
יהיו \(U,V,W\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\).
\(V\) איזומורפי ל-\(V\) (רפלקסיביות) (כי \(Id_{V}:V\to V\) איזומורפיזם).
אם \(V\) איזומורפי ל-\(W\) אז \(W\) איזומורפי ל-\(V\) (סימטריות): (כי אם \(T:V\to W\) איזומורפיזם, אז \(T':W\to V\) גם איזומורפיזם).
אם \(U\) איזומורפי ל-\(V\) ו-\(V\) איזומורפי ל-\(W\) אז \(U\) איזומורפי ל-\(W\) (טרנזיטיביות): (כי אם \(T_{1}:U\rightarrow V,\ T_{2}:V\rightarrow W\) איזומורפיזם, אז גם \(T_{2}\circ T_{1}:U\rightarrow W\) איזומ’).
טענה [פונ’ וקטור הקואורדינטות היא איזומורפיזם]
יהי \(V\) מ"ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\), \(\dim V=n\), \(\mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{n})\) בסיס של \(V\). נגדיר \(\omega_{\mathcal{B}}:V\to\mathbb{F}^{n}\) באופן הבא: \[\forall v\in V\quad\omega_{\mathcal{B}}(v)=[v]_{\mathcal{B}}\] אז \(\omega_{\mathcal{B}}\) היא איזומורפיזם.
הוכחה
נראה כי \(\omega_{\mathcal{B}}\) היא ה"ל.
לכל \(v_{1},v_{2}\in V\) מתקיים \[\omega_{\mathcal{B}}(v_{1}+v_{2})=[v_{1}+v_{2}]_{\mathcal{B}}=[v_{1}]_{\mathcal{B}}+[v_{2}]_{\mathcal{B}}=\omega_{\mathcal{B}}(v_{1})+\omega_{\mathcal{B}}(v_{2})\] לכל \(c\in\mathbb{F}\), \(v\in V\) מתקיים: \[\omega_{\mathcal{B}}(cv)=[cv]_{\mathcal{B}}=c[v]_{\mathcal{B}}=c\omega_{\mathcal{B}}(v)\] מאחר ש- \((v_{1},\dots,v_{n})\) פורשת את \(V\) מתקיים \[\operatorname{Im}omega_{\mathcal{B}}=\text{Span }(\omega_{\mathcal{B}}((v_{1},\dots,v_{n})))=\text{Span }((\omega_{\mathcal{B}}(v_{1}),\dots,\omega_{\mathcal{B}}(v_{n})))=\] \[=\text{Span }((e_{1},\dots,e_{n}))=\mathbb{F}^{n}\] לכן \(\omega_{\mathcal{B}}\) היא על. מאחר ש- \(\dim V=n=\dim\mathbb{F}^{n}\) היא גם חח"ע, לכן \(\omega_{\mathcal{B}}\) איזומורפיזם.
[ה-ה”ל ההופכית לפונ’ וקטור הקואורדינטות]
תהי \(\omega_{\mathcal{B}}:V\to\mathbb{F}^{n}\) כמו בטענה.
נסמן את ההעתקה הליניארית ההופכית ל- \(\omega_{\mathcal{B}}\) ב-\(\tau_{\mathcal{B}}:\mathbb{F}^{n}\to V\). אז \[\forall\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}:\tau_{\mathcal{B}}\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\]
מסקנה
יהי \(V\) מ"ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\) כך ש- \(\dim V=n\).
אז \(V\) איזומורפי ל- \(\mathbb{F}^{n}\).
משפט [מ”ו איזומורפים אם”ם הם מאותו מימד]
יהיו \(V,W\) מ"ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\).
אז \(V\) איזומורפי ל- \(W\) אם"ם \(\dim V=\dim W\).