אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
טענה [קיום ויחידות ה”ל על בסיס]
יהיו \(V,W\) מ"ו מעל \(\mathbb{F}\) כך ש- \(V\) נ”ס, \(\mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{n})\) בסיס של \(V\), \(w_{1},\dots,w_{n}\in W\). אזי קיימת ה"ל \(T:V\to W\) יחידה כך ש- \[\forall1\le i\le n\quad T(v_{i})=w_{i}\]
הוכחה
יהי \(v\in V\). נסמן \([v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\). אז \(v=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\).
נגדיר \(T(v)=c_{1}w_{1}+\dots+c_{n}w_{n}\in W\).
באופן זה הגדרנו פונקציה \(T:V\to W\).
נוכיח כי \(T\) היא ה"ל.
יהיו \(u,v\in V\). נסמן \([u]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}b_{1}\\ \vdots\\ b_{n} \end{pmatrix},[v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\).
אז \([u+v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}b_{1}+c_{1}\\ \vdots\\ b_{n}+c_{n} \end{pmatrix}\). מכאן \[\begin{aligned}T(u+v) & =(b_{1}+c_{1})w_{1}+\dots+(b_{n}+c_{n})w_{n}=\\ & =(b_{1}w_{1}+\dots+b_{n}w_{n})+(c_{1}w_{1}+\dots+c_{n}w_{n})=T(u)+T(v) \end{aligned}\] יהיו \(c\in\mathbb{F},v\in V\). נסמן \([v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\). אז \([cv]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}cc_{1}\\ \vdots\\ cc_{n} \end{pmatrix}\). מכאן \[T(cv)=(cc_{1})w_{1}+\dots+(cc_{n})w_{n}=c(c_{1}w_{1}+\dots+c_{n}w_{n})=cT(v)\] לכל \(1\le i\le n\) מתקיים \([v_{i}]_{\mathcal{B}}=e_{i}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\leftarrow i\). מכאן \[T(v_{i})=0\cdot w_{1}+\dots+0\cdot w_{i-1}+1\cdot w_{i}+0\cdot w_{i+1}+\dots+0w_{n}=w_{i}\] באופן זה בנינו ה”ל המקיימת את התנאי הנדרש.
כדי להוכיח את היחידות, נניח כי קיימות ה"ל \(T,T':V\to W\) כך שלכל \(1\le i\le n\) מתקיים \(T(v_{i})=w_{i}\) וגם \(T'(v_{i})=w_{i}\). יהי \(v\in V\). נסמן \([v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\). אז \(v=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\). מכאן \[T(v)=T(c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n})=c_{1}T(v_{1})+\dots+c_{n}T(v_{n})=c_{1}w_{1}+\dots+c_{n}w_{n}\] באופן דומה מתקיים \(T'(v)=c_{1}w_{1}+\dots+c_{n}w_{n}\).
לכן \(T(v)=T'(v)\). לפיכך ה"ל שמקיימת את התנאי הנדרש יחידה.
טענה [כל ה”ל ניתנת לייצוג באמצעות מטריצה]
תהי \(T:\mathbb{F}^{n}\to\mathbb{F}^{m}\) ה"ל כלשהי.
אז קיימת \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\) כך ש- \(T=T_{A}\) כאשר
\[T_{A}:\mathbb{F}^{n}\rightarrow\mathbb{F}^{m},\quad\forall v\in\mathbb{F}^{n}\quad T_{A}(v)=Av\]
הוכחה
לכל \(1\le i\le n\) נסמן \(w_{i}=T(e_{i})\in\mathbb{F}^{m}\). נגדיר את \(A\) להיות המטריצה שהעמודה ה-\(i\) שלה היא \(w_{i}\), כלומר \(A=(w_{1}\dots w_{n})\).
אז \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\) ולכל \(1\le i\le n\) מתקיים \[T(e_{i})=w_{i}=Ae_{i}=T_{A}(e_{i})\] לכן לפי הטענה הקודמת מתקיים \(T=T_{A}\).
מטריצה של העתקה ליניארית [הגדרה חשובה]
יהיו \(V,W\) מ"ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\),
\(\mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{n})\) בסיס של \(V\),
\(\mathcal{C}=(w_{1},\dots,w_{m})\) בסיס של \(W\).
תהי \(T:V\to W\) ה"ל.
המטריצה של \(T\) ביחס לבסיסים \(\mathcal{B},\mathcal{C}\) היא המטריצה \([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\) שהעמודה ה-\(i\) שלה היא \([T(v_{i})]_{\mathcal{C}}\) כלומר \[[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{c} |\\{} [T(v_{1})]_{\mathcal{C}}\\ | \end{array}\dots\begin{array}{c} |\\{} [T(v_{n})]_{\mathcal{C}}\\ | \end{array}\right)\]
לפיכך \([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\).
טענה [ה”ל נקבעת ע”י המטריצה המייצגת שלה]
יהיו \(V,W\) מ"ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\), \(\mathcal{B},\mathcal{C}\) בסיסים של \(V,W\) בהתאמה, \(T,T':V\to W\) ה"ל כך ש- \([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=[T']_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\). אז \(T=T'\).
הוכחה
מאחר ש- \([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=[T']_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\), לכל \(1\le i\le n\) מתקיים \([T(v_{i})]_{\mathcal{C}}=[T'(v_{i})]_{\mathcal{C}}\) ומכאן \(T(v_{i})=T'(v_{i})\). אז לפי היחידות שבטענה הקודמת אנו מסיקים כי \(T=T'\).
טענה [כל מטריצה מייצגת ה”ל]
יהיו \(V,W\) מ"ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\), \(\dim V=n,\dim W=m\), \(\mathcal{B},\mathcal{C}\) בסיסים של \(V,W\) בהתאמה, \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\).
אז קיימת \(T:V\to W\) כך ש-\([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=A\).
הוכחה
נסמן \(A=\begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\) ונסמן \(\mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{n}),\mathcal{C}=(w_{1},\dots,w_{m})\).
לכל \(1\le i\le n\) נגדיר \(u_{i}=a_{1i}w_{1}+\dots+a_{mi}w_{m}\in W\).
אז \(\begin{pmatrix}a_{1i}\\ \vdots\\ a_{mi} \end{pmatrix}=[u_{i}]_{\mathcal{C}}\) היא העמודה ה- \(i\) של \(A\).
לפי הקיום בטענה [קיום ויחידות ה”ל על בסיס], קיימת ה”ל \(T:V\to W\) כך ש- \[\forall1\leq i\leq n:T(v_{i})=u_{i}\] אז \[[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{c} |\\{} [T(v_{1})]_{\mathcal{C}}\\ | \end{array}\dots\begin{array}{c} |\\{} [T(v_{n})]_{\mathcal{C}}\\ | \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} |\\{} [u_{1}]_{\mathcal{C}}\\ | \end{array}\dots\begin{array}{c} |\\{} [u_{n}]_{\mathcal{C}}\\ | \end{array}\right)=\begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}=A\]
זה ש-\(T\) היא ה”ל נובע מהטענה שבה השתמשנו: היא מבטיחה קיום של העתקה לינארית (ולא סתם פונ’) המקיימת \(T(v_{i})=u_{i}\) לכל \(i\). לכן \(T\) היא ה”ל ואפשר לדבר על המטריצה המייצגת שלה.
משפט [\([T(v)]_{\mathcal{C}}=[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[v]_{\mathcal{B}}\)]
יהיו \(V,W\) מ"ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\). \(\mathcal{B},\mathcal{C}\) בסיסים של \(V,W\) בהתאמה. \(T:V\to W\) ה"ל, \(v\in V\). אז \([T(v)]_{\mathcal{C}}=[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[v]_{\mathcal{B}}\).
הוכחה
נסמן \(\mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{n}),[v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\). אז \(v=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n}\).
\[[T(v)]_{\mathcal{C}}=\omega_{\mathcal{C}}(T(v))=(\omega_{\mathcal{C}}\circ T)(c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n})=\]
\[=c_{1}(\omega_{\mathcal{C}}\circ T)(v_{1})+\dots+c_{n}(\omega_{\mathcal{C}}\circ T)(v_{n})=\]
\[=c_{1}[T(v_{1})]_{\mathcal{C}}+\dots+c_{n}[T(v_{n})]_{\mathcal{C}}=\]
\[=\left([T(v_{1})]_{\mathcal{C}}\dots[T(v_{n})]_{\mathcal{C}}\right)\begin{pmatrix}c_{1}\\ \vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}=[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[v]_{\mathcal{B}}\]