אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
תזכורת
יהיו \(V,W\) מ”ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\),
\(\mathcal{B},\mathcal{C}\) הם בסיסים של \(V,W\) בהתאמה,
\(T:V\rightarrow W\) ה”ל. המטריצה של \(T\) ביחס ל-\(\mathcal{B}\) ו-\(C\) היא
המטריצה \([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\) כך שהעמודה ה-\(i\) שלה היא \([T(v_{i})]_{\mathcal{C}}\) כלומר
\[[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\left([T(v_{1})]_{\mathcal{C}},\dots,[T(v_{n})]_{\mathcal{C}}\right)\]
משפט
יהיו \(V,W\) מ”ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\),
\(\mathcal{B},\mathcal{C}\) בסיסים של \(V,W\) בהתאמה, \(T:V\rightarrow W\) ה”ל, \(v\in V\).
אז \([T(v)]_{\mathcal{C}}=[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[v]_{\mathcal{B}}\).
מסקנה
יהיו \(V,W\) מ”ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\),
\(\mathcal{B},\mathcal{C}\) בסיסים של \(V,W\) בהתאמה, \(T:V\rightarrow W\) ה”ל. נסמן \(A=[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\).
\(\omega_{\mathcal{B}}(v)=[v]_{\mathcal{B}},\quad\omega_{\mathcal{B}}:V\rightarrow\mathbb{F}^{n}\) לכל \(v\in V\).
\(\omega_{\mathcal{C}}(w)=[w]_{\mathcal{C}},\quad\omega_{\mathcal{C}}:W\rightarrow\mathbb{F}^{m}\) לכל \(w\in W\).
אז מתקיים
\[\begin{aligned} 1)\quad\omega_{\mathcal{C}}\circ T & =T_{A}\circ\omega_{\mathcal{B}}\\ 2)\quad T & =\tau_{\mathcal{C}}\circ T_{A}\circ\omega_{\mathcal{B}} \end{aligned}\]
הוכחה
1) לכל \(v\in V\) מתקיים
\((\omega_{\mathcal{C}}\circ T)(v)=\omega_{\mathcal{C}}(T(v))=[T(v)]_{\mathcal{C}}\underset{(i)}{=}[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[v]_{\mathcal{B}}=A[v]_{\mathcal{B}}=T_{A}([v]_{\mathcal{B}})=T_{A}(\omega_{\mathcal{B}}(v))=(T_{A}\circ\omega_{\mathcal{B}})v\)
\(\qquad\)\((i)\) לפי המשפט.
2)
לפי (1) מתקיים \(T=Id_{W}\circ T=(\tau_{\mathcal{C}}\circ\omega_{\mathcal{C}})\circ T=\tau_{\mathcal{C}}\circ(\omega_{\mathcal{C}}\circ T)=\tau_{\mathcal{C}}\circ(T_{A}\circ\omega_{\mathcal{B}})\)
טענה
תהי \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\). נגדיר \(T_{A}:\mathbb{F}^{n}\rightarrow\mathbb{F}^{m}\) ע”י \(T_{A}(v)=Av\).
נסמן ב-\(\varepsilon_{n},\varepsilon_{m}\) את הבסיסים הסטנדרטיים של \(\mathbb{F}^{n},\mathbb{F}^{m}\) בהתאמה.
אז \([T_{A}]_{\varepsilon_{m}}^{\varepsilon_{n}}=A\).
הוכחה
נסמן את העמודות של \(A\) ב-\(C_{1},\dots,C_{n}\in\mathbb{F}^{m}\).
אז לכל \(1\leq i\leq n\) העמודה ה-\(i\) של \([T_{A}]_{\varepsilon_{m}}^{\varepsilon_{n}}\) היא
\([T_{A}(e_{i})]_{\varepsilon_{m}}=[Ae_{i}]_{\varepsilon_{m}}=[C_{i}]_{\varepsilon_{m}}=C_{i}\) ולכן היא שווה לעמודה
ה-\(i\) של \(A\) וסיימנו.
כפל מטריצות
יהיו \(\ell,m,n\in\mathbb{N}\) ויהי \(\mathbb{F}\) שדה,
\(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\), \(B\in M_{\ell\times m}(\mathbb{F})\).
המכפלה של \(A\) ו-\(B\) היא המטריצה \(BA\) כך שלכל \(1\leq i\leq n\)
העמודה ה-\(i\) של \(BA\) היא \(BC_{i}\in\mathbb{F}^{\ell}\) כאשר \(C_{i}\in\mathbb{F}^{m}\) היא העמודה ה-\(i\) של \(A\).
לפיכך \(BA\in M_{\ell\times n}(\mathbb{F})\).
טענה
יהיו \(U,V,W\) מ”ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\), \(T_{1}:U\rightarrow V,\quad T_{2}:V\rightarrow W\) ה”ל,
\(\mathcal{B},\mathcal{C},\mathcal{D}\) הם בסיסים של \(U,V,W\) בהתאמה.
אז \([T_{2}\circ T_{1}]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{B}}=[T_{2}]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}}\cdot[T_{1}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\).
הוכחה
נסמן \(\mathcal{B}=(u_{1},\dots,u_{n})\). אז לכל \(1\leq i\leq n\) העמודה ה-\(i\) של \([T_{2}\circ T_{1}]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{B}}\) היא
\[[(T_{2}\circ T_{1})(u_{i})]_{\mathcal{D}}=[T_{2}(T_{1}(u_{i}))]_{\mathcal{D}}\underset{(i)}{=}[T_{2}]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}}[T_{1}(u_{i})]_{\mathcal{C}}\underset{(i)}{=}[T_{2}]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}}([T_{1}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[u_{i}]_{\mathcal{B}})=[T_{2}]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}}([T_{1}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}e_{i})\]
\((i)\quad\) לפי משפט
מאחר ש-\([T_{1}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}e_{i}\) היא העמודה ה-\(i\) של \([T_{1}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\), קיבלנו בצד ימין את העמודה ה-\(i\) של \([T_{2}]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}}[T_{1}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\) וסיימנו.
טענה
יהיו \(k,\ell,m,n\in\mathbb{N}\), יהי \(\mathbb{F}\) שדה,
ויהיו \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\), \(B\in M_{\ell\times m}(\mathbb{F})\), \(C\in M_{k\times\ell}(\mathbb{F})\).
אז \((CB)A=C(BA)\).
הוכחה
נתבונן בה”ל הבאות: \(T_{A}:\mathbb{F}^{n}\rightarrow\mathbb{F}^{m},T_{B}:\mathbb{F}^{m}\rightarrow\mathbb{F}^{\ell},T_{C}:\mathbb{F}^{\ell}\rightarrow\mathbb{F}^{k}\).
נסמן ב-\(\varepsilon_{n},\varepsilon_{m},\varepsilon_{\ell},\varepsilon_{k}\) את הבסיסים הסטנדרטיים של \(\mathbb{F}^{n},\mathbb{F}^{m},\mathbb{F}^{\ell},\mathbb{F}^{k}\) בהתאמה.
אז \(C(BA)=[T_{C}]_{\varepsilon_{k}}^{\varepsilon_{\ell}}([T_{B}]_{\varepsilon_{\ell}}^{\varepsilon_{m}}[T_{A}]_{\varepsilon_{m}}^{\varepsilon_{n}})=[T_{C}]_{\varepsilon_{k}}^{\varepsilon_{\ell}}[T_{B}\circ T_{A}]_{\varepsilon_{\ell}}^{\varepsilon_{n}}=[T_{C}\circ(T_{B}\circ T_{A})]_{\varepsilon_{k}}^{\varepsilon_{n}}=\)
\(=[(T_{C}\circ T_{B})\circ T_{A}]_{\varepsilon_{k}}^{\varepsilon_{n}}=[T_{C}\circ T_{B}]_{\varepsilon_{k}}^{\varepsilon_{m}}[T_{A}]_{\varepsilon_{m}}^{\varepsilon_{n}}=([T_{C}]_{\varepsilon_{k}}^{\varepsilon_{\ell}}[T_{B}]_{\varepsilon_{\ell}}^{\varepsilon_{m}})[T_{A}]_{\varepsilon_{m}}^{\varepsilon_{n}}=(CB)A\)
וסיימנו.
תכונה של כפל מטריצות
תהיינה \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\), \(B\in M_{\ell\times m}(\mathbb{F})\).
אם העמודה ה-\(i\) של \(A\) היא עמודת האפסים אז העמודה ה-\(i\) של \(BA\) היא גם עמודת האפסים.
תכונה
תהיינה \(A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{array}\right)\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\), \(\mathcal{B}=\left(\begin{array}{ccc} b_{11} & \dots & b_{1m}\\ \vdots & & \vdots\\ b_{\ell1} & \dots & b_{\ell m} \end{array}\right)\in M_{\ell\times m}(\mathbb{F})\).
יהיו \(1\leq i\leq\ell,\quad1\leq j\leq n\) . אז בחיתוך של השורה ה-\(i\) והעמודה ה-\(j\) של \(BA\)
מופיע \(b_{i1}a_{1j}+b_{i2}a_{2j}+\dots+b_{im}a_{mj}\).
מסקנה
תהיינה \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\), \(B\in M_{\ell\times m}(\mathbb{F})\). אם השורה ה-\(i\) של \(B\) היא שורת האפסים,
אז השורה ה-\(i\) של \(BA\) היא גם שורת האפסים.