אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
תזכורת
כפל מטריצות
תהיינה \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\), \(B\in M_{\ell\times m}(\mathbb{F})\).
המכפלה \(BA\) היא מטריצה בעלת \(n\) עמודות כאשר לכל \(1\leq i\leq n\)
העמודה ה-\(i\) של \(BA\) היא \(BC_{i}\) כאשר \(C_{i}\in\mathbb{F}^{m}\) היא העמודה ה-\(i\) של \(A\).
אז \(BA\in M_{\ell\times n}(\mathbb{F})\).
טענה
תהיינה \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\), \(B\in M_{\ell\times m}(\mathbb{F})\), \(C\in M_{k\times\ell}(\mathbb{F})\).
אז \((CB)A=C(BA)\).
תכונות של כפל מטריצות
1.
אם \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\), אז \(I_{m}A=A\).
הוכחה
לכל \(1\leq i\leq n\) נסמן ב-\(C_{i}\) את העמודה ה-\(i\) של \(A\).
אז העמודה ה-\(i\) של \(I_{m}A\) היא \(C_{i}=I_{m}C_{i}\) לכן \(I_{m}A=A\).
2.
אם \(B\in M_{\ell\times m}(\mathbb{F})\), אז \(BI_{m}=B\).
הוכחה
לכל \(1\leq i\leq m\) העמודה ה-\(i\) של \(I_{m}\) היא \(e_{i}\).
אז העמודה ה-\(i\) של \(BI_{m}\) היא \(Be_{i}\), וזאת העמודה ה-\(i\) של \(B\).
לכן \(BI_{m}=B\).
מטריצות ריבועיות
הגדרה - מטריצות הופכיות
תהיינה \(A,B\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\).
אומרים כי \(A,B\) הופכיות זו לזו כאשר \(AB=BA=I_{m}\).
טענה
תהיינה \(A,B,C\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) כך ש-\(AC=BA=I_{m}\).
אז \(B=C\).
הוכחה
\(C=I_{m}C=(BA)C=B(AC)=BI_{m}=B\).
מסקנה
תהיינה \(A,B,C\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\).
אם \(B\) הופכית ל-\(A\) וגם \(C\) הופכית ל-\(A\), אז \(B=C\).
הגדרה - מטריצה הפיכה
מטריצה \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) נקראת הפיכה כאשר קיימת \(B\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) שהופכית ל-\(A\).
טענה
תהיינה \(A,C\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) הפיכות.
אז \(AC\) הפיכה.
בנוסף, אם \(B,D\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) הופכיות ל-\(A,C\) בהתאמה,
אז \(DB\) היא הופכית ל-\(AC\).
הוכחה
\[(AC)(DB)=((AC)D)B=(A(CD))B=(AI_{m})B=AB=I_{m}\]
\[(DB)(AC)=((DB)A)C=(D(BA))C=(DI_{m})C=DC=I_{m}\]
טענה
תהי \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) הפיכה, ויהי \(b\in\mathbb{F}^{m}\).
אז לממ”ל \(Ax=b\) קיים פתרון יחיד.
בנוסף, אם \(B\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) היא הופכית ל-\(A\),
אז הפתרון היחיד של הממ”ל הוא \(Bb\).
הוכחה
[ראשית נוכיח כי \(Bb\) הוא פתרון של הממ”ל ואז נוכיח יחידות.]
מתקיים \(A(Bb)=(AB)b=I_{m}b=b\).
לכן \(Bb\) הוא פתרון של הממ”ל.
נניח כי \(d\in\mathbb{F}^{m}\) הוא פתרון של הממ”ל. אז \(Ad=b\).
מכאן \(d=I_{m}d=(BA)d=B(Ad)=Bb\).
לכן לממ”ל הזאת קיים פתרון יחיד והוא \(Bb\).
תכונה
יהי \(V\) מ”ו נ”ס, \(\mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{n})\) בסיס של \(V\).
אז \([Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=I_{n}\).
הוכחה
לכל \(1\leq i\leq n\) העמודה ה-\(i\) של \([Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}\) היא \(e_{i}=[v_{i}]_{\mathcal{B}}=[Id_{V}(v_{i})]_{\mathcal{B}}\).
לכן \([Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=I_{n}\).
טענה
יהיו \(V,W\) מ”ו נ”ס, \(\mathcal{B},\mathcal{C}\) בסיסים \(V,W\) בהתאמה,
\(T:V\rightarrow W\) איזומורפיזם, \(T':W\rightarrow V\) ה”ל הופכית ל-\(T\).
אז המטריצות \([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\), \([T']_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}\) הופכיות זו לזו.
הוכחה
\[[T']_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=[T'\circ T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=[Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=I_{n}\] \[[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[T']_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}=[T\circ T']_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}=[Id_{W}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}=I_{n}\]
טענה
יהיו \(V,W\) מ”ו נ”ס, \(\dim V=\dim W\), \(\mathcal{B},\mathcal{C}\) בסיסים של \(V,W\) בהתאמה,
\(T:V\rightarrow W\) ה”ל.
אז \(T\) איזומורפיזם אם”ם \([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\) הפיכה.
הוכחה
\(\Leftarrow\):
אם \(T\) איזומורפיזם, אז קיימת ה”ל \(T':W\rightarrow V\) הופכית ל-\(T\).
אז לפי הטענה הקודמת \([T']_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}\) הופכית ל-\([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\). מכאן \([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\) הפיכה וסיימנו.
\(\Rightarrow\):
אם \([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\) הפיכה, אז קיימת מטריצה \(D\) שהופכית ל-\([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\).
לפי טענה שהוכחנו פעם, קיימת ה”ל \(T':W\rightarrow V\) כך ש-\([T']_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}=D\).
אז \([T'\circ T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=[T']_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=D[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=I_{n}\) כאשר \(n=\dim V\).
נסמן \(\mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{n})\). אז לכל \(1\leq i\leq n\) מתקיים \([(T'\circ T)(v_{i})]_{\mathcal{B}}=e_{i}\).
מכאן \((T'\circ T)(v_{i})=v_{i}\). לכן \(T'\circ T=Id_{V}\), ובדומה \(T\circ T'=Id_{W}\).
לכן \(T\) ו-\(T'\) ה”ל הופכיות זו לזו, כלומר \(T\) איזומורפיזם וסיימנו.
טענה
תהי \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) כך ש-לממ”ל הומוגנית \(Ax=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\) קיים פתרון יחיד,
אז \(A\) הפיכה.
הוכחה
נגדיר \(T_{A}:\mathbb{F}^{m}\rightarrow\mathbb{F}^{m}\) ע”י \(T_{A}(v)=Av\).
אז \(\ker T_{A}=\left\{ v\in\mathbb{F}^{m}\,|\,T_{A}(v)=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\right\} =\left\{ \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\right\}\).
לכן \(T_{A}\) חח”ע, מכאן \(T_{A}\) גם על, כלומר \(T_{A}\) איזומורפיזם.
לפי הטענה הקודמת \([T_{A}]_{\varepsilon_{m}}^{\varepsilon_{m}}=A\) הפיכה כאשר \(\varepsilon_{m}=(e_{1},\dots,e_{m})\) הבסיס הסטנדרטי של \(\mathbb{F}^{m}\).