הרצאה 21 - 30.12.2025

תזכורת

תהיינה \(A,B\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\). אומרים כי \(A,B\) הופכיות זו לזו כאשר \(AB=BA=I_{m}\).

טענה

תהיינה \(A,B,C\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) כך ש-\(AC=BA=I_{m}\).

אז \(B=C\).

מטענה זו הסקנו את היחידות.

הגדרה - מטריצה הפיכה

מטריצה \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) נקראת הפיכה כאשר קיימת \(B\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) שהופכית ל-\(A\).

טענה 1

תהי \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\), ויהי \(b\in\mathbb{F}^{m}\).

אם \(A\) הפיכה, אז לממ”ל \(Ax=b\) קיים פתרון יחיד.

בנוסף, אם \(B\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) היא הופכית ל-\(A\),

אז הפתרון היחיד של הממ”ל הוא \(Bb\).

טענה

יהיו \(V,W\) מ”ו נ”ס כך ש- \(\dim V=\dim W\), \(\mathcal{B},\mathcal{C}\) בסיסים של \(V,W\) בהתאמה,

\(T:V\rightarrow W\) ה”ל.

אז \(T\) איזומורפיזם אם”ם \([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\) הפיכה.

טענה 2

תהי \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\). אם לממ”ל הומוגנית \(Ax=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\) קיים פתרון יחיד,

אז \(A\) הפיכה.

טענה

תהיינה \(A,B\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\). אם \(BA=I_{m}\), אז \(AB=I_{m}\).

(חשוב לזכור שזה תקף רק למטריצות ריבועיות.)

הוכחה

יהי \(d\in\mathbb{F}^{m}\) פתרון של \(Ax=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\). אז \(Ad=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\).

מכאן \(d=I_{m}d=(BA)d=B(Ad)=B\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\).

לכן לממ”ל \(Ax=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\) קיים פתרון יחיד.

לפי הטענה הקודמת אנו מסיקים כי \(A\) הפיכה.

נסמן ב-\(C\) את המטריצה ההופכית ל-\(A\).

אז \(CA=AC=I_{m}\). מכאן \(C=B\) ולכן \(AB=I_{m}\).

טענה 3

תהי \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\). אם לכל \(b\in\mathbb{F}^{m}\) לממ”ל \(Ax=b\) קיים פתרון,

אז \(A\) הפיכה.

הוכחה

נגדיר \(T_{A}:\mathbb{F}^{m}\rightarrow\mathbb{F}^{m}\) ע”י \(T_{A}(v)=Av\). אז

(*) נתון.

לכן \(T_{A}\) היא על, ומכאן \(T_{A}\) היא חח”ע, כלומר \(T_{A}\) איזומורפיזם.

אז \([T_{A}]_{\varepsilon_{m}}^{\varepsilon_{m}}=A\) הפיכה, כאשר \(\varepsilon_{m}=(e_{1},\dots,e_{m})\) הבסיס הסטנדרטי של \(\mathbb{F}^{m}\).

משפט מסכם של טענות 1,2,3

תהי \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\). אז התנאים הבאים שקולים זה לזה:

1. \(A\) הפיכה.

2. לכל \(b\in\mathbb{F}^{m}\) לממ”ל \(Ax=b\) קיים פתרון יחיד.

3. לממ”ל \(Ax=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\) קיים פתרון יחיד.

4. לכל \(b\in\mathbb{F}^{m}\) לממ”ל \(Ax=b\) קיים פתרון.

הוכחה

“אני כתבתי פה הוכחה, אבל אני לא הולך לכתוב הוכחה, אני הולך לכתוב ציור :)” - אלכס.
\[\begin{aligned} & (1)\underset{\text{Proposition 1}}{\Rightarrow}(2)\\ & (2)\underset{\text{trivial}}{\Rightarrow}(3)\\ & (2)\underset{\text{trivial}}{\Rightarrow}(4)\\ & (3)\underset{\text{Proposition 2}}{\Rightarrow}(1)\\ & (4)\underset{\text{Proposition 3}}{\Rightarrow}(1) \end{aligned}\]

טענה

תהי \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\). אז \(A\) הפיכה אם”ם סדרת העמודות של \(A\) בת”ל.

הוכחה

נסמן את העמודות של \(A\) ב-\(C_{1},\dots,C_{m}\).

אז \((C_{1},\dots,C_{m})\) בת”ל אם”ם

\(a_{1}C_{1}+\dots+a_{m}C_{m}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\) רק כאשר \(a_{1}=\dots=a_{m}=0\) אם”ם

\(A\begin{pmatrix}a_{1}\\ \vdots\\ a_{m} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\) רק כאשר \(\begin{pmatrix}a_{1}\\ \vdots\\ a_{m} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\) אם”ם

לממ”ל \(Ax=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\) קיים פתרון יחיד אם”ם \(A\) הפיכה וסיימנו.

טענה

תהי \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\). אז \(A\) הפיכה אם”ם סדרת העמודות של \(A\) פורשת את \(\mathbb{F}^{m}\).

הוכחה

נסמן את העמודות של \(A\) ב-\(C_{1},\dots,C_{m}\).

\((C_{1},\dots,C_{m})\) פורשת את \(\mathbb{F}^{m}\) אם”ם

לכל \(b\in\mathbb{F}^{m}\) קיימים \(a_{1},\dots,a_{m}\in\mathbb{F}\) כך ש-\(a_{1}C_{1}+\dots+a_{m}C_{m}=b\) אם”ם

לכל \(b\in\mathbb{F}^{m}\) לממ”ל \(Ax=b\) קיים פתרון אם”ם \(A\) הפיכה וסיימנו.

מטריצות אלמנטריות

הגדרה של \(T_{\varepsilon}\)

תהי \(\varepsilon\) פעולת שורה אלמנטרית על מטריצות בעלות \(m\) שורות.

בהינתן מטריצה \(A\) בעלת \(m\) שורות נסמן ב-\(\varepsilon(A)\) את המטריצה המתקבלת מ-\(A\) ע”י ביצוע של \(\varepsilon\).

נגדיר \(T_{\varepsilon}:\mathbb{F}^{m}\rightarrow\mathbb{F}^{m}\) באופן הבא: \(\forall v\in\mathbb{F}^{m}\quad T_{\varepsilon}(v)=\varepsilon(v)\).

קל לבדוק כי \(T_{\varepsilon}\) היא ה”ל.

טענה

\([T_{\varepsilon}]_{\varepsilon_{m}}^{\varepsilon_{m}}=\varepsilon(I_{m})\) כאשר \(\varepsilon_{m}=(e_{1},\dots,e_{m})\) זהו הבסיס הסטנדרטי של \(\mathbb{F}^{m}\).

הוכחה

העמודה ה-\(i\) של \([T_{\varepsilon}]_{\varepsilon_{m}}^{\varepsilon_{m}}\) היא \(\varepsilon(e_{i})=T_{\varepsilon}(e_{i})=[T_{\varepsilon}(e_{i})]_{\varepsilon_{m}}\).

העמודה ה-\(i\) של \(\varepsilon(I_{m})\) היא \(\varepsilon(e_{i})\). מכאן הנדרש.

דוגמה \(m=2\)

1) \(\varepsilon=R_{1}\leftrightarrow R_{2}\). אז \(\varepsilon(I_{2})=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).

2) \(\varepsilon=R_{1}\rightarrow2R_{1}\). אז \(\varepsilon(I_{2})=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

3) \(\varepsilon=R_{2}\rightarrow R_{2}+R_{1}\). אז \(\varepsilon(I_{2})=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\).

טענה

תהי \(\varepsilon\) פש”א על מטריצות בעלות \(m\) שורות, \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\). אז \(\varepsilon(A)=\varepsilon(I_{m})A\).

הוכחה

לכל \(1\leq i\leq m\) נסמן את העמודה ה-\(i\) של \(A\) ב-\(C_{i}\).

אז העמודה ה-\(i\) של \(\varepsilon(A)\) היא \(\varepsilon(C_{i})\).

העמודה ה -\(i\) של \(\varepsilon(I_{m})A\) היא

\[\varepsilon(C_{i})=T_{\varepsilon}(C_{i})=[T_{\varepsilon}(C_{i})]_{\varepsilon_{m}}=[T_{\varepsilon}]_{\varepsilon_{m}}^{\varepsilon_{m}}[C_{i}]_{\varepsilon_{m}}=\varepsilon(I_{m})C_{i}\]

מכאן הנדרש.

דוגמה \(m=2\), \(A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)

1) \(\varepsilon=R_{1}\leftrightarrow R_{2}\). אז \(\varepsilon(A)=\begin{pmatrix}3 & 4\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\).

2) \(\varepsilon=R_{1}\rightarrow2R_{1}\). אז \(\varepsilon(A)=\begin{pmatrix}2 & 4\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\).

3) \(\varepsilon=R_{2}\rightarrow R_{2}+R_{1}\). אז \(\varepsilon(A)=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 4 & 6 \end{pmatrix}\).

הגדרה - מטריצה אלמנטרית

מטריצה \(E\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) נקראת אלמנטרית כאשר קיימת פש”א \(\varepsilon\) כך ש-\(E=\varepsilon(I_{m})\).

טענה

כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה.

הוכחה

תהי \(E\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) מטריצה אלמנטרית. אז קיימת פש”א \(\varepsilon\) כך ש-\(E=\varepsilon(I_{m})\).

נסמן ב-\(\delta\) את הפש”א ההופכית ל-\(\varepsilon\). נסמן ב-\(D=\delta(I_{m})\).

אז מתקיים \(ED=\varepsilon(I_{m})D=\varepsilon(D)=\varepsilon(\delta(I_{m}))=I_{m}\).

לכן \(E,D\) הופכיות זו לזו ומכאן \(E\) הפיכה.

ההוכחה מראה רק ש-\(ED=I_{m}\). הכיוון השני, \(DE=I_{m}\), נובע מהטענה שהוכחנו קודם בהרצאה זו: אם \(BA=I_{m}\) אז \(AB=I_{m}\) (למטריצות ריבועיות).

משפט

תהיינה \(A,B\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) שקולות שורה, כלומר \(B\) מתקבלת מ-\(A\) ע”י סדרה של פש”א.

אז קיימת מטריצה הפיכה \(P\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) כך ש-\(B=PA\).

הוכחה

נסמן ב-\(\varepsilon_{k},\dots,\varepsilon_{1}\) את הפש”א שבעזרתן \(B\) מתקבל מ-\(A\),

כלומר \(B=\varepsilon_{k}(\dots\varepsilon_{2}(\varepsilon_{1}(A))\dots)\). לפי הטענה הקודמת מתקיים

נגדיר \(P=\varepsilon_{k}(I_{m})(\dots(\varepsilon_{2}(I_{m})\cdot\varepsilon_{1}(I_{m}))\dots)\). אז \(B=PA\).

מאחר שלכל \(1\leq i\leq k\) המטריצה \(\varepsilon_{i}(I_{m})\) הפיכה, גם \(P\) הפיכה.