אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
זה היה שיעור השלמה ביום חמישי.
תזכורת
טענה
תהיינה \(A,B\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\) שקולות שורה.
אז קיימת \(P\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) הפיכה כך ש- \(B=PA\).
הוכחה
נסמן ב-\(\varepsilon_{k},\dots,\varepsilon_{1}\) סדרה של פש”א שבעזרתן \(B\) מתקבלת מ-\(A\).
אז \(B=\varepsilon_{k}(\dots\varepsilon_{2}(\varepsilon_{1}(A))\dots)\).
מכאן \[B=\varepsilon_{k}(I_{m})(\dots(\varepsilon_{2}(I_{m})\varepsilon_{1}(I_{m})A)\dots)\] נגדיר \(P=\varepsilon_{k}(I_{m})\dots\varepsilon_{2}(I_{m})\varepsilon_{1}(I_{m})\). אז \(B=PA\) מאחר שלכל \(1\le i\le k\), \(\varepsilon_{i}(I_{m})\) הפיכה, גם \(P\) הפיכה.
הערה
בהנחות הוכחת הטענה, מתקיים \[P=\varepsilon_{k}(I_{m})(\dots(\varepsilon_{3}(I_{m})(\varepsilon_{2}(I_{m})\varepsilon_{1}(I_{m})))\dots)=\varepsilon_{k}(I_{m})(\dots(\varepsilon_{3}(I_{m})\varepsilon_{2}(\varepsilon_{1}(I_{m})))\dots)=\] \[=\varepsilon_{k}(I_{m})(\dots(\varepsilon_{3}(\varepsilon_{2}(\varepsilon_{1}(I_{m})))\dots)=\dots=\varepsilon_{k}(\dots(\varepsilon_{3}(\varepsilon_{2}(\varepsilon_{1}(I_{m}))))\dots)\] כלומר \(P\) מתקבלת מ-\(I_{m}\) ע”י סדרה של פש”א \(\varepsilon_{k},\dots,\varepsilon_{1}\).
דוגמא
נתונה \(A=\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 3\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).
נמצא מטריצה מדורגת מצומצמת \(B\) ש-שקולת שורה ל-\(A\) ומטריצה הפיכה \(P\) כך ש- \(B=PA\).
\[\left(\begin{array}{cc|ccc} 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 3 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\xrightarrow{R_{2}\to R_{2}+R_{1}}\left(\begin{array}{cc|ccc} 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\xrightarrow{R_{2}\to\frac{1}{2}R_{2}}\left(\begin{array}{cc|ccc} 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\] \[\xrightarrow[R_{3}\to R_{3}-R_{2}]{R_{1}\to R_{1}+R_{2}}\left(\begin{array}{cc|ccc} 1 & 0 & 3/2 & 1/2 & 0\\ 0 & 1 & 1/2 & 1/2 & 0\\ 0 & 0 & -1/2 & -1/2 & 1 \end{array}\right)\] ולכן: \[B=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad P=\begin{pmatrix}3/2 & 1/2 & 0\\ 1/2 & 1/2 & 0\\ -1/2 & -1/2 & 1 \end{pmatrix}\]
למה [למטריצה הפיכה אין שורות או עמודות אפסים]
תהי \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) הפיכה. אז ל- \(A\) אין שורות אפסים ואין עמודות אפסים.
הוכחה
נסמן ב- \(B\) את המטריצה ההופכית ל- \(A\). אז \(AB=BA=I_{m}\).
אם השורה ה- \(i\) של \(A\) היא שורת אפסים, אז השורה ה- \(i\) של \(I_{m}=AB\) היא שורת אפסים, וזו סתירה.
אם העמודה ה- \(i\) של \(A\) היא עמודת אפסים, אז העמודה ה- \(i\) של \(I_{m}=BA\) היא עמודת אפסים, וזו סתירה.
טענה
תהי \(R\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) מטריצה מדורגת מצומצמת והפיכה.
אז \(R=I_{m}\).
הוכחה
ל- \(R\) יש בדיוק \(m\) איברים מובילים כי אחרת ב- \(R\) הייתה שורה ללא איבר מוביל כלומר שורת אפסים וזאת סתירה ללמה.
לכן בכל שורה של \(R\) יש איבר מוביל.
האיבר המוביל של השורה הראשונה חייב להיות בעמודה הראשונה כי אחרת לא יספיק מקום לשאר האיברים המובילים. בדומה לכל \(1\leq i\leq m\) האיבר המוביל של השורה ה- \(i\) חייב להיות בעמודה ה- \(i\). מכאן \(R=I_{m}\).
משפט [חשוב]
תהי \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\). נסמן ב-\(R\) מטריצה מדורגת מצומצמת שקולת שורה ל-\(A\).
אזי \(A\) הפיכה אם”ם \(R=I_{m}\).
הוכחה
קיימת \(P\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) הפיכה כך ש-\(R=PA\).
\(\Leftarrow\) אם \(A\) הפיכה, אז \(R=PA\) הפיכה אז לפי הטענה הקודמת \(R=I_{m}\).
\(\Rightarrow\) אם \(R=I_{m}\), אז \(I_{m}=PA\) מכאן \(I_{m}=AP\) לכן \(A,P\) הופכיות זו לזו ובפרט \(A\) הפיכה.
הערה
אם \(A\) הפיכה, אז כדי לחשב את המטריצה ההופכית ל-\(A\) (כלומר \(P\)) צריך לבצע על \(I_{m}\) את [ההקלטה נקטעה כאן] [ניחוש: אותן הפעולות שמבצעים על \(A\) כדי להביאה לצורה המדורגת קנונית \(I_{m}\)].