הרצאה 23 - 05.01.2026

דרגה

יהיו \(V,W\) מ”ו נ”ס, \(T:V\to W\) ה"ל. הדרגה של \(T\) מוגדרת ע"י: \[rk\ T=\dim\ \operatorname{Im}T\]

למה

יהיו \(U,V,W\) מ"ו, \(T_{1}:U\to V\), \(T_{2}:V\to W\) ה"ל . אז:

1. \(\operatorname{Im}(T_{2}\circ T_{1})\subseteq\operatorname{Im}T_{2}\)

2. \(\ker(T_{2}\circ T_{1})\supseteq\ker T_{1}\)

הוכחה

1. יהי \(w\in\operatorname{Im}(T_{2}\circ T_{1})\). אז קיים \(u\in U\) כך ש- \[T_{2}(T_{1}(u))=(T_{2}\circ T_{1})(u)=w\] מכאן \(w\in\operatorname{Im}T_{2}\).

2. יהי \(u\in\ker T_{1}\). אז \(T_{1}(u)=0_{V}\). מכאן \[(T_{2}\circ T_{1})(u)=T_{2}(T_{1}(u))=T_{2}(0_{V})=0_{W}\] לכן \(u\in\ker(T_{2}\circ T_{1})\).

טענה

יהיו \(U,V,W\) מ"ו נ”ס, \(T_{1}:U\to V\), \(T_{2}:V\to W\) ה"ל. אז:

1. \(rk\ (T_{2}\circ T_{1})\le rk\ T_{2}\)

2. אם \(T_{1}\) על, אז \(rk(T_{2}\circ T_{1})=rk\ T_{2}\)

3. \(rk(T_{2}\circ T_{1})\le rkT_{1}\)

4. אם \(T_{2}\) חח"ע, אז \(rk(T_{2}\circ T_{1})=rk\ T_{1}\)

הוכחה

1) מאחר ש- \(\operatorname{Im}(T_{2}\circ T_{1})\subseteq\operatorname{Im}T_{2}\) מתקיים: \[rk(T_{2}\circ T_{1})=\dim\operatorname{Im}(T_{2}\circ T_{1})\le\dim\operatorname{Im}T_{2}=rkT_{2}\]

2) מתקיים \(T_{1}(U)=\operatorname{Im}T_{1}=V\). אז \[rkT_{2}=\dim\operatorname{Im}T_{2}=\dim T_{2}(V)=\dim T_{2}(T_{1}(U))=\dim(T_{2}\circ T_{1})(U)=\dim\operatorname{Im}(T_{2}\circ T_{1})=rk(T_{2}\circ T_{1})\]

3) מאחר ש- \(\ker(T_{2}\circ T_{1})\supseteq\ker T_{1}\) מתקיים \(\dim\ker(T_{2}\circ T_{1})\ge\dim\ker T_{1}\). אז \[rk(T_{2}\circ T_{1})=\dim\operatorname{Im}(T_{2}\circ T_{1})=\dim U-\dim\ker(T_{2}\circ T_{1})\] \[=\dim\ \operatorname{Im}T_{1}+\left(\dim\ker T_{1}-\dim\ker(T_{2}\circ T_{1})\right)\le\dim\operatorname{Im}T_{1}=rk\ T_{1}\]

4) נוכיח כי \(\ker(T_{2}\circ T_{1})\subseteq\ker T_{1}\).

יהי \(u\in\ker(T_{2}\circ T_{1})\). אז \(T_{2}(T_{1}(u))=(T_{2}\circ T_{1})(u)=0_{W}\).

מאחר ש- \(T_{2}\) חח"ע מתקיים \(T_{1}(u)\in\ker T_{2}=\{0_{V}\}\).

לכן \(T_{1}(u)=0_{V}\), כלומר \(u\in\ker T_{1}\).

אז לפי הלמה מתקיים \(\ker(T_{2}\circ T_{1})=\ker T_{1}\).

מסקנה

יהיו \(U,V,W,Z\) מ"ו נ”ס, \(T_{1}:U\to V\) ,\(T:V\to W\) , \(T_{2}:W\to Z\) ה"ל כך ש- \(T_{1},T_{2}\) איזומורפיזמים. אז \[rk(T_{2}\circ T\circ T_{1})=rkT\]

הוכחה

\[rk(T_{2}\circ T\circ T_{1})\underset{T_{1}\text{ surjective}}{=}rk(T_{2}\circ T)\underset{T_{2}\text{injective}}{=}rk\ T\]

דרגה של מטריצה

תהי \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\).

נתבונן בה"ל \(T_{A}:\mathbb{F}^{n}\to\mathbb{F}^{m}\) המוגדרת ע"י \(T_{A}(v)=Av\).

הדרגה של \(A\) מוגדרת ע"י: \[rkA=rk\ T_{A}\]

טענה

יהיו \(V,W\) מ"ו נ”ס, \(\mathcal{B},\mathcal{C}\) בסיסים של \(V,W\) בהתאמה, \(T:V\to W\) ה"ל. אזי \[rk\ T=rk\ [T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\]

הוכחה

נסמן \(n=\dim V\), \(m=\dim W\). נסמן \(A=[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\).

אז \(T=\tau_{\mathcal{C}}\circ T_{A}\circ\omega_{\mathcal{B}}\). לפי המסקנה הקודמת מתקיים \[rk\ T=rk(\tau_{\mathcal{C}}\circ T_{A}\circ\omega_{\mathcal{B}})=rk\ T_{A}=rk\ A=rk[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\]

טענה

תהיינה \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\), \(A_{1}\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\), \(A_{2}\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\). אם \(A_{1},A_{2}\) הפיכות, אז: \[rk(A_{2}AA_{1})=rkA\]

הוכחה

נתבונן בה"ל \(T_{A}:\mathbb{F}^{n}\to\mathbb{F}^{m}\), \(T_{A_{1}}:\mathbb{F}^{n}\to\mathbb{F}^{n}\), \(T_{A_{2}}:\mathbb{F}^{m}\to\mathbb{F}^{m}\). מאחר ש- \(A_{1},A_{2}\) הפיכות, \(T_{A_{1}},T_{A_{2}}\) איזומורפיזמים. אז \[rk(A_{2}AA_{1})=rk([T_{A_{2}}]_{\varepsilon_{m}}^{\varepsilon_{m}}[T_{A}]_{\varepsilon_{m}}^{\varepsilon_{n}}[T_{A_{1}}]_{\varepsilon_{n}}^{\varepsilon_{n}})\] \[=rk([T_{A_{2}}\circ T_{A}\circ T_{A_{1}}]_{\varepsilon_{m}}^{\varepsilon_{n}})\underset{\text{prev theorem}}{=}rk(T_{A_{2}}\circ T_{A}\circ T_{A_{1}})=rkT_{A}=rkA\]

טענה [למטריצות שקולות שורה יש אותה דרגה]

תהיינה \(A,B\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\) שקולות שורה. אז \[rkB=rkA\]

הוכחה

קיימת \(P\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) הפיכה כך ש- \(B=PA\). אז לפי הטענה הקודמת \[rkB=rk(PAI_{n})=rkA\]

שחלוף מטריצות (\(\text{Transpose}\))

תהי \(A=\begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\).

המטריצה המשוחלפת של \(A\) מוגדרת ע"י: \[A^{t}=\begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{m1}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{1n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\in M_{n\times m}(\mathbb{F})\]

טענה

תהיינה \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\), \(B\in M_{\ell\times m}(\mathbb{F})\). אז \[(BA)^{t}=A^{t}B^{t}\]

הוכחה

נסמן \[B=\begin{pmatrix}b_{11} & \dots & b_{1m}\\ \vdots & & \vdots\\ b_{\ell1} & \dots & b_{\ell m} \end{pmatrix},\quad A=\begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\]

יהיו \(1\le i\le n\), \(1\le j\le\ell\). אז בחיתוך של השורה ה- \(i\) והעמודה ה- \(j\) של \(A^{t}B^{t}\) מופיע \[a_{1i}b_{j1}+a_{2i}b_{j2}+\dots+a_{mi}b_{jm}\] מצד שני המספר בשורה ה-\(i\) והעמודה ה-\(j\) של \((BA)^{t}\) שווה למספר בשורה ה-\(j\) והעמודה ה-\(i\) של \(BA\) אשר שווה ל- \[b_{j1}a_{1i}+b_{j2}a_{2i}+\dots+b_{jm}a_{mi}\] שזה שווה לביטוי הקודם (חילוף בכפל סקלרים). מכאן הנדרש.

טענה

תהי \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) הפיכה. אז \(A^{t}\) גם הפיכה.

בנוסף, אם \(B\) הופכית ל-\(A\), אז \(B^{t}\) הופכית ל-\(A^{t}\).

הוכחה

מתקיים

\[A^{t}B^{t}=(BA)^{t}=(I_{m})^{t}=I_{m}\] לכן \(B^{t}\) הופכית ל-\(A^{t}\).

ההוכחה מראה רק ש-\(A^{t}B^{t}=I_{m}\). הכיוון השני נובע מהטענה מהרצאה 21 שלפיה אם \(BA=I_{m}\) אז \(AB=I_{m}\) (למטריצות ריבועיות), או ישירות: \(B^{t}A^{t}=(AB)^{t}=I_{m}^{t}=I_{m}\).

מטריצה סימטרית

מטריצה \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) נקראת סימטרית כאשר \(A^{t}=A\).

דוגמה

\(\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\) סימטרית.

טענה

תהי \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) הפיכה וסימטרית.

אז ההופכית של \(A\) גם סימטרית.

הוכחה

נסמן ב-\(B\) את המטריצה ההופכית ל-\(A\). אז מתקיים: \[AB^{t}=A^{t}B^{t}=(BA)^{t}=I_{m}^{t}=I_{m}\] (השוויון הראשון נובע מכך ש-\(A\) סימטרית ולכן \(A=A^{t}\)).

לכן \(B^{t}\) הופכית ל-\(A\). מכאן \(B^{t}=B\), כלומר \(B\) סימטרית.