אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
תזכורת
יהיו \(V,W\) מ”ו נ”ס, \(T:V\rightarrow W\) ה”ל.
הדרגה של \(T\) מוגדרת ע”י: \(rk\:T=dim\:\operatorname{Im}T\).
תהי \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\). הדרגה של \(A\) מוגדרת ע”י \(rk\:A=rk\:T_{A}\).
טענה
יהיו \(V,W\) מ”ו נ”ס, \(\mathcal{B},\mathcal{C}\) בסיסים של \(V,W\) בהתאמה, \(T:V\rightarrow W\) ה”ל.
אז \(rk\:T=rk\:[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\).
טענה
תהיינה \(A_{2}\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\), \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\), \(A_{1}\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\).
אם \(A_{1},A_{2}\) הפיכות, אז \(rk\:A_{1}AA_{2}=rk\:A\).
טענה
תהיינה \(A,B\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\) שקולות שורה. אז \(rk\:B=rk\:A\).
הגדרה - מטריצה משוחלפת
תהי \(A=\begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\). המטריצה המשוחלפת של \(A\) היא \(A^{t}=\begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{m1}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{1n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\).
טענה
תהיינה \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\), \(B\in M_{\ell\times m}(\mathbb{F})\). אז \((BA)^{t}=A^{t}B^{t}\).
טענה
תהי \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) הפיכה. אז גם \(A^{t}\) הפיכה.
טענה
תהיינה \(A,B\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\) שקולות שורה, אז \(rk\:B^{t}=rk\:A^{t}\).
הוכחה
קיימת \(P\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\) הפיכה כך ש- \(B=PA\).
מכאן \(B^{t}=(PA)^{t}=A^{t}P^{t}\). בנוסף, \(P^{t}\) הפיכה.
לכן \(rk\:(B^{t})=rk\:(I_{n}A^{t}P^{t})=rk\ A^{t}\).
טענה
תהי \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\). לכל \(1\leq j\le n\) נסמן את העמודה ה-\(j\) של \(A\) ב- \(C_{j}\).
אז \(rk\:A=\dim\text{Span }(C_{1},\dots,C_{n})\).
הוכחה
נתבונן ב- \(T_{A}:\mathbb{F}^{n}\rightarrow\mathbb{F}^{m}\), \(T_{A}(v)=Av\).
מאחר ש- \((e_{1},\dots,e_{n})\) פורשת את \(\mathbb{F}^{n}\), מתקיים
\(\operatorname{Im}T_{A}=\text{Span }(T_{A}(e_{1}),\dots,T_{A}(e_{n}))=\text{Span }(Ae_{1},\dots,Ae_{n})=\text{Span }(C_{1},\dots,C_{n})\)
מכאן \(rk\:A=rk\:T_{A}=dim\:\operatorname{Im}T_{A}=dim\:\text{Span }(C_{1},\dots,C_{n})\).
טענה
תהי \(R\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\) מדורגת מצומצמת. אז \(rk\:R^{t}=rk\:R\).
הוכחה
נסמן ב- \(r\) את מספר האיברים המובילים ב- \(R\).
לכל \(1\leq i\leq r\) נסמן ב- \(h_{i}\) את מספר העמודה בה נמצא האיבר המוביל של השורה ה- \(i\).
אז לכל \(1\leq i\leq r\) העמודה ה- \(h_{i}\) של \(R\) היא \(e_{i}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\) כאשר \(1\) הוא במקום ה-\(i\).
בנוסף \(m-r\) שורות אחרונות של \(R\) הן שורות אפסים ולכן \(m-r\) קואורדינטות אחרונות של כל עמודה ב- \(R\) הן אפסים.
זאת אומרת שכל עמודה של \(R\) שייכת ל- \(\text{Span }(e_{1},\dots,e_{r})\).
לכן פרוש העמודות של \(R\) הוא \(\text{Span }(e_{1},\dots,e_{r})\) והמימד שלו הוא \(r\).
לכן לפי הטענה הקודמת \(rk\:R=r\).
מאחר ש- \(m-r\) העמודות האחרונות של \(R^{t}\) הן עמודות אפסים,
פרוש העמודות של \(R^{t}\) שווה לפרוש של \(r\) העמודות הראשונות של \(R^{t}\).
בנוסף, \(r\) העמודות הראשונות של \(R^{t}\) יוצרות סדרה בת”ל, כי אם נתון צ”ל
של העמודות האלה עם מקדמים \(c_{1},\dots,c_{r}\) וגם \(c_{j}\neq0\),
אז הקואורדינטה ה- \(h_{j}\) של הצירוף הלינארי הזה תהיה \(c_{j}\neq0\),
כלומר הצ”ל שונה מהעמודה \(\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\).
מכאן הסדרה של \(r\) העמודות הראשונות של \(R^{t}\) היא בסיס של פרוש העמודות של \(R^{t}\),
מכאן \(rk\:R^{t}=r\).
משפט הדרגה (או משפט המימדים השלישי)
תהי \(A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})\). אז \(rk\:A^{t}=rk\:A\).
הוכחה
נסמן ב- \(R\) את המטריצה המדורגת מצומצמת המתקבלת מ- \(A\) ע”י תהליך הדירוג.
אז \(A,R\) שקולות שורה.
מכאן \(rk\:A^{t}=rk\:R^{t}=rk\:R=rk\:A\).
טענה
תהי \(A\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\). אז \(A\) הפיכה אם”ם \(rk\:A=m\).
הוכחה
לכל \(1\le i\leq m\) נסמן את העמודה ה- \(i\) של \(A\) ב- \(C_{i}\). אז \(A\) הפיכה
אם”ם \(\text{Span }(C_{1},\dots,C_{m})=\mathbb{F}^{m}\) אם”ם \(dim\:\text{Span }(C_{1},\dots,C_{m})=dim\:\mathbb{F}^{m}\) אם”ם \(rk\:A=m\).
מטריצת מעבר בסיס
יהי \(V\) מ”ו נ”ס, \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{m})\) בסיסים של \(V\).
מטריצת מעבר בסיס מ-\(\mathcal{B}\) ל-\(\mathcal{C}\) היא
\[\underset{\mathcal{B}}{V}\overset{Id_{V}}{\longrightarrow}\underset{\mathcal{C}}{V}\]
\[[Id_{V}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\left([v_{1}]_{\mathcal{C}},\dots,[v_{m}]_{\mathcal{C}}\right)\in M_{m\times m}(\mathbb{F})\]
תכונה
יהי \(V\) מ”ו נ”ס, \(\mathcal{B},\mathcal{C}\) בסיסים של \(V\), \(v\in V\).
אז \([v]_{\mathcal{C}}=[Id_{V}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[v]_{\mathcal{B}}\).
הוכחה
\[[v]_{\mathcal{C}}=[Id_{V}(v)]_{\mathcal{C}}=[Id_{V}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[v]_{\mathcal{B}}\]
תכונה
יהי \(\mathcal{B}=(v_{1},\dots,v_{n})\) בסיס כלשהו של \(\mathbb{F}^{n}\).
נסמן ב- \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) את המטריצה שהעמודה ה- \(i\) שלה היא \(v_{i}\) לכל \(1\leq i\leq n\).
אז \([Id_{\mathbb{F}^{n}}]_{\varepsilon_{n}}^{B}=A\) כאשר \(\varepsilon_{n}=(e_{1},\dots,e_{n})\) הבסיס הסטנדרטי של \(\mathbb{F}^{n}\).
הוכחה
העמודה ה- \(i\) של \([Id_{\mathbb{F}^{n}}]_{\varepsilon_{n}}^{B}\) היא \([Id_{V}(v_{i})]_{\varepsilon_{n}}=[v_{i}]_{\varepsilon_{n}}=v_{i}\).
מכאן הנדרש.
תכונה
יהי \(V\) מ”ו נ”ס, \(\mathcal{B},\mathcal{C},\mathcal{D}\) בסיסים של \(V\).
\[[Id_{V}]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{B}}=[Id_{V}]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}}\cdot[Id_{V}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\]
הוכחה
\[[Id_{V}]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}}\cdot[Id_{V}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=[Id_{V}\circ Id_{V}]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{B}}=[Id_{V}]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{B}}\]
תזכורת
יהי \(V\) מ”ו נ”ס, \(\mathcal{B}\) בסיס של \(V\). אז \([Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=I_{n}\).
תכונה
יהי \(V\) מ”ו נ”ס, \(\mathcal{B},\mathcal{C}\) בסיסים של \(V\).
אז \([Id]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\) הפיכה וההופכית שלה היא \([Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}\).
הוכחה
לפי התכונה בתזכורת והתכונה הקודמת \(I_{n}=[Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=[Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}[Id_{V}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\).
טענה (חשובה)
יהי \(V\) מ”ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\), \(\mathcal{B}=\left(v_{1},\dots,v_{n}\right)\) בסיס של \(V\).
\(P\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) הפיכה. אז קיים בסיס \(\mathcal{C}\) של \(V\) כך ש- \([Id]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}=P\).
הוכחה
לכל \(1\leq i\leq n\) נסמן ב- \(C_{i}\) את העמודה ה-\(i\) של \(P\).
נזכיר כי \(\omega_{\mathcal{B}}:V\rightarrow\mathbb{F}^{n}\) , \(\omega_{\mathcal{B}}(v)=[v]_{\mathcal{B}}\) היא איזומורפיזם.
\(\tau_{\mathcal{B}}:\mathbb{F}^{n}\rightarrow V\) הוא ההופכי של \(\omega_{\mathcal{B}}\).
לכל \(1\leq i\leq n\) נגדיר \(u_{i}=\tau_{\mathcal{B}}(C_{i})\).
נגדיר \(C=(u_{1},\dots,u_{n})\). אז \([u_{i}]_{\mathcal{B}}=\omega_{\mathcal{B}}(u_{i})=C_{i}\).
ולכן \([Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}=([u_{1}]_{\mathcal{B}},\dots,[u_{n}]_{\mathcal{B}})=(C_{1},\dots,C_{n})=P\).
חשוב לציין שמאחר ש-\(P\) הפיכה, הסדרה \((C_{1},\dots,C_{n})\) פורשת את \(\mathbb{F}^{n}\),
ולכן \((u_{1},\dots,u_{n})\) פורשת את \(V\), ומכאן \((u_{1},\dots,u_{n})\) בסיס של \(V\).