הרצאה 25 - 12.01.2026

שיעור שעבר התחלנו לדבר על מטריצות מעבר בסיס.

תזכורת

1. מטריצת מעבר בסיס

יהי \(V\) מ”ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\), \(\mathcal{B},\mathcal{C}\) בסיסים של \(V\).

אז המטריצה \([Id_{V}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\) נקראת מטריצת מעבר בסיס.

2. תכונה

\([Id]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\) הפיכה. המטריצה ההופכית שלה היא \([Id]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}\).

3. טענה

יהי \(V\) מ”ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\), \(\dim V=n\),

\(\mathcal{B}\) בסיס של \(V\), \(P\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) הפיכה.

אז קיים בסיס \(\mathcal{C}\) של \(V\) כך ש- \([Id]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}=P\).

מטריצה מייצגת תלויה בבחירת הבסיסים.

נרצה לשאול - איך תשתנה המטריצה של ה”ל אם נשנה את הבסיס של התחום, או של הטווח, או של שניהם?

להלן טענה חשובה על כך:

4. טענה

יהיו \(V,W\) מ”ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\), \(T:V\rightarrow W\) ה”ל, \(\mathcal{B},\mathcal{B}'\) בסיסים של \(V\), \(\mathcal{C},\mathcal{C}'\) בסיסים של \(W\).

אז \[[T]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'}=[Id_{W}]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{C}}[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\]

הוכחה

\[[T]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'}=[Id_{W}\circ T\circ Id_{V}]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'}=[Id_{W}]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{C}}[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\]

הסבר הטענה: שינוי בסיס להעתקה ליניארית

הטענה מתארת את הקשר בין המטריצות המייצגות של אותה העתקה ליניארית \(T\), אך תחת זוגות בסיסים שונים.

האינטואיציה מאחורי הנוסחה

נתונה העתקה \(T:V\to W\). יש לנו שתי דרכים להסתכל על ההעתקה מבחינת קואורדינטות:

1. דרך הבסיסים הישנים \(\mathcal{B}\) (בתחום \(V\)) ו-\(\mathcal{C}\) (בטווח \(W\)).

2. דרך הבסיסים החדשים \(\mathcal{B}'\) (בתחום \(V\)) ו-\(\mathcal{C}'\) (בטווח \(W\)).

הנוסחה אומרת שכדי לקבל את המטריצה בבסיסים החדשים \([T]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'}\), ניתן להשתמש במטריצה הישנה \([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\) ולהכפיל אותה משני הצדדים במטריצות מעבר (מטריצות שינוי בסיס).

סדר הכפל (מימין לשמאל) מתאר את המסלול שעובר וקטור קואורדינטות: \[[T]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'}=\underbrace{[Id_{W}]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{C}}}_{\text{3}}\cdot\underbrace{[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}}_{\text{2}}\cdot\underbrace{[Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}}_{\text{1}}\]

1. צעד 1 (המטריצה הימנית): המטריצה \([Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\) לוקחת וקטור המיוצג לפי הבסיס החדש \(\mathcal{B}'\), וממירה אותו לשפה של הבסיס הישן \(\mathcal{B}\).

2. צעד 2 (המטריצה האמצעית): כעת כשהקלט הוא בבסיס הישן, המטריצה \([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\) מבצעת את ההעתקה ומחזירה תוצאה בבסיס הישן של הטווח \(\mathcal{C}\).

3. צעד 3 (המטריצה השמאלית): המטריצה \([Id_{W}]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{C}}\) לוקחת את הפלט (שהוא בבסיס \(\mathcal{C}\)) וממירה אותו לבסיס החדש של הטווח \(\mathcal{C}'\).

דוגמה מספרית

נניח כי \(V=W=\mathbb{R}^{2}\) ונגדיר העתקה ליניארית \(T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}\) המוגדרת על ידי: \[T(x,y)=(x,2y)\]

1. בחירת בסיסים

נבחר את הבסיס הסטנדרטי כבסיס הישן (\(\mathcal{B}=\mathcal{C}\)): \[\mathcal{B}=((1,0),(0,1))\] נבחר בסיס חדש (\(\mathcal{B}'=\mathcal{C}'\)): \[\mathcal{B}'=((1,1),(0,1))\] (לצורך הפשטות, בחרנו \(V=W\) וגם \(\mathcal{B}=\mathcal{C}\) ו-\(\mathcal{B}'=\mathcal{C}'\)).

2. חישוב המטריצה בבסיס הישן (הסטנדרטי)

נחשב את \([T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}\): \[T(1,0)=(1,0),\quad T(0,1)=(0,2)\] לכן \[A=[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\]

3. חישוב מטריצות המעבר

אנו צריכים את המטריצה \([Id]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\) (מטריצת המעבר מהחדש לישן). עמודות המטריצה הן פשוט וקטורי הבסיס \(\mathcal{B}'\) כתובים לפי הבסיס הסטנדרטי: \[P=[Id]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\] כמו כן אנו צריכים את המטריצה ההפוכה, \([Id]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}\) (מהישן לחדש), שהיא \(P^{-1}\): \[P^{-1}=[Id]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\]

4. שימוש בנוסחה

לפי טענה 4: \[[T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}'}=[Id]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}\cdot[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}\cdot[Id]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}=P^{-1}AP\] נציב ונכפול: \[\begin{pmatrix}1 & 0\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\] תחילה נכפול את שתי המטריצות הימניות: \[\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2 & 2 \end{pmatrix}\] כעת נכפול בשמאלית: \[\begin{pmatrix}1 & 0\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\] קיבלנו את המטריצה המייצגת בבסיס החדש: \[[T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}'}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]

5. בדיקה ישירה (לאימות)

נחשב את \([T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}'}\) ישירות לפי ההגדרה, ללא שימוש בנוסחת המעבר. נפעיל את \(T\) על איברי הבסיס \(\mathcal{B}'=((1,1),(0,1))\) ונציג את התוצאה כצירוף ליניארי של איברי \(\mathcal{B}'\):

• עבור הוקטור הראשון \((1,1)\): \[T(1,1)=(1,2)\] נציג אותו לפי הבסיס החדש: \((1,2)=1\cdot(1,1)+1\cdot(0,1)\). לכן העמודה הראשונה היא \(\begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix}\).

• עבור הוקטור השני \((0,1)\): \[T(0,1)=(0,2)\] נציג אותו לפי הבסיס החדש: \((0,2)=0\cdot(1,1)+2\cdot(0,1)\). לכן העמודה השנייה היא \(\begin{pmatrix}0\\ 2 \end{pmatrix}\).

סה"כ קיבלנו: \[\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\] זוהי בדיוק אותה מטריצה שקיבלנו בנוסחה, מה שמאשש את נכונות הטענה.

לטענה 4 יש מקרה פרטי אחד חשוב: בוחרים \(\mathcal{B}=\mathcal{C}\) ו- \(\mathcal{B}'=\mathcal{C}'\) אבל עדיין \(\mathcal{B}\neq\mathcal{B}'\). מכך שהן הופכיות זו לזו (תכונה 2) נקבל משהו מעניין. (בחזקה מינוס אחד על מטריצה הכוונה היא למטריצה ההופכית). אפשר לראות איך המסקנה הבאה, וגם הגדרה 6, באות לידי ביטוי בדוגמה המספרית שבאפור.

5. מסקנה

יהיו \(V\) מ”ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\), \(T:V\rightarrow V\) ה”ל, \(\mathcal{B},\mathcal{B}'\) בסיסים של \(V\).

אז מהטענה (4)

\[[T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}'}=[Id_{V}]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}[Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\]

אבל מכך שהן הופכיות זו לזו (2) נקבל (וזו המסקנה החשובה:)

\[[T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}'}=\left([Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\right)^{-1}[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}[Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\]

מה שהמסקנה הזו אומרת למעשה, היא שברגע שיש ה”ל מ-מ”ו לעצמו עם שני בסיסים שונים, הקשר בין שתי מטריצות מייצגות במרחב הוא קשר שבו לוקחים את המטריצה הראשונה, כופלים אותה בצד ימין במטריצה הפיכה, ובצד שמאל במטריצה ההופכית של אותה מטריצה הפיכה.

כאשר קיים קשר כזה בין שתי מטריצות, נקרא להן מטריצות דומות.

זו מסקנה חשובה כי בלינארית 2 באה לידי ביטוי באופן מרכזי ה”ל מ-מ”ו לעצמו, לכן המסקנה הזו קריטית לכל מה שיקרה בקורס ההמשך.

דמיון מטריצות

6. הגדרה - דמיון מטריצות

תהיינה \(A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\). אומרים כי \(B\) דומה ל-\(A\) כאשר קיימת \(P\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) הפיכה כך ש- \(B=P^{-1}AP\).

במקרה זה נסמן \(B\sim A\).

• נזכיר שכפל מטריצות אינו חילופי, לכן לא בהכרח \(A=B\), אחרת זה לא היה מעניין.

• חשוב לציין, ותכף נראה את זה בתור תכונות, שדמיון מטריצות מגדיר יחס שקילות (יחס שהוא רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי).

• עכשיו נכתוב מחדש את המסקנה (5) בעזרת זה.

7. תכונה

יהיו \(V\) מ”ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\), \(T:V\rightarrow V\) ה”ל, \(\mathcal{B},\mathcal{B}'\) בסיסים של \(V\).

אז \([T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}'}\) דומה ל- \([T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}\).

8. תכונות של דמיון מטריצות

1) \(A\sim A\) (רפלקסיביות)

הוכחה:

נבחר \(P=I_{n}\). אז \(A=\left(I_{n}\right)^{-1}AI_{n}\).

2) אם \(B\sim A\), אז \(A\sim B\) (סימטריה)

הוכחה:

אם \(B\sim A\) אז מהגדרת דמיון מטריצות קיימת \(P\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) הפיכה כך ש- \(B=P^{-1}AP\). אז

\[(P^{-1})^{-1}BP^{-1}\underset{\text{def of \textasciicircum-1}}{=}PBP^{-1}\underset{\text{substitute B}}{=}PP^{-1}APP^{-1}=I_{n}AI_{n}=A\] לכן \(A\sim B\).

3) אם \(B\sim A\) וגם \(C\sim B\) אז \(C\sim A\) (טרנזיטיביות)

הוכחה:

מההנחות קיימות \(Q,P\) הפיכות כך ש- \(B=P^{-1}AP\) וגם \(C=Q^{-1}BQ\). אז

\[C\underset{\text{substitute C}}{=}Q^{-1}BQ\underset{\text{substitute B}}{=}Q^{-1}P^{-1}APQ\underset{*}{=}(PQ)^{-1}A(PQ)\] לכן \(C\sim A\).
\((*)\) זה נובע מטענה שלמדנו על ההופכי של המכפלה לפיה \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\). נשים לב שהסדר מתהפך.

הוכחנו פעם שאם כופלים מטריצה הפיכה מצד ימין ומצד שמאל הדרגה שלה לא משתנה. זה בא לידי ביטוי גם כאן באופן מאוד שימושי ונציג את זה עכשיו כטענה.

9. טענה

תהיינה \(A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\). אם \(B\sim A\), אז \(rk\:B=rk\:A\).

הוכחה

מהגדרת דמיון מטריצות קיימת \(P\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) הפיכה כך ש- \(B=P^{-1}AP\). מאחר ש- \(P^{-1},P\) הפיכות מתקיים \(rk\:B=rk\:A\).

נוכיח כי בהינתן בסיס וה”ל מ-מ”ו לעצמו, כל מטריצה אחרת הדומה למטריצה המייצגת של ההעתקה הזאת, גם היא מטריצה מייצגת של אותה ההעתקה, פשוט ביחס לבסיס אחר.
בשביל להוכיח את זה נשתמש בטענה משיעור שעבר (3).

ראשית נכתוב על סמך ההגדרה של דמיון מטריצות, ואז נרצה ש- \(P\) תהיה מטריצת מעבר. את זה בדיוק אפשר להשיג מהטענה (3) מהשיעור הקודם.

10. טענה

יהי \(V\) מ”ו נ”ס מעל \(\mathbb{F}\) כך ש- \(\dim V=n\) ויהיו \(T:V\rightarrow V\) ה”ל, \(\mathcal{B}\) בסיס של \(V\), \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) מטריצה כך ש- \(A\sim[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}\). אז קיים בסיס \(\mathcal{C}\) של \(V\) כך ש- \(A=[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\).

הוכחה

מההגדרה של דמיון מטריצות קיימת \(P\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) הפיכה כך ש- \(A=P^{-1}[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}P\). לפי הטענה מהשיעור הקודם קיים בסיס \(\mathcal{C}\) של \(V\) כך ש- \(P=[Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}\). מכאן

\[A=P^{-1}[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}P=\left([Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}\right)^{-1}[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}[Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}=[Id_{V}]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}[Id_{V}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}=[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\]

דטרמיננטות

ועכשיו חברים מתחילים את הפרק האחרון בקורס, הלוא הוא דטרמיננטות.

רעיון כללי ומוטיבציה

דטרמיננטה היא פונקציה מ- קבוצה של מטריצות ריבועיות עם מקדמים מהשדה, ל- שדה. כלומר, לכל מטריצה ריבועית של מקדמים מהשדה היא מתאימה סקלר מהשדה.

יש רק אחת כזאת, מדובר על פונקציה ספציפית, לא על אפיון.
המשמעות הגיאומטרית שלה:

אפשר להסתכל על מטריצה ריבועית כאוסף של n שורות (במקום עמודות כמו עד עכשיו). כל שורה במטריצה היא n-יה שוכבת כזאת. נקודה במרחב \(F^{n}\). אז למשל אם \(n=2\) המשמעות הגיאומטרית של המטריצה היא משהו כמו:

ואם \(n=3\) אז למשל:

ודטרמיננטה מודדת את הגודל של הגופים האלה.

החלק הכי קשה יהיה להוכיח שבכלל קיימת פונקציה שמקיימת את כל הדרישות שאנחנו נסיק.

התכונה העיקרית של הפונקציה הזאת היא שאם נקבע את כל השורות חוץ מאחת שתהיה המשתנה נקבל פונקציה לינארית.

הטענה: השטח של צהוב פלוס השטח של אדום שווה לשטח של כחול.

המחשה ומוטיבציה מהסטודנט האגדי אביב זילברמן פרץ

אל תנסה להבין אינטואיציה גיאומטרית באלגברה (בכלל).

כמה שיותר אינטואיציה גיאומטרית בסיסית ותו לא, לך ולי אין תפיסה גיאומטרית ב-\(n\) מימדים, אנחנו עדיין לא רימן וגאוס.

במובן האבסטרקטי, \(det\) הוא נפח, ומה שמשתמע מכך.

בסוף, התיאוריה הגיאומטרית שאלכס מפתח לך היא לא חובה להבנה.

מה שחשוב לדעת זה ש- \(det\) זו פונקציה רקורסיבית ושתדע לפתח אותה בעצמך בצורה אלגברית (תלמד בהרצאות הבאות).

כשתגיע לזה כדאי לשים לב שאתה יודע איך לחשב \(det\) ע”י חישוב מטריצה קנונית.

לינאריות לפי שורה

סימונים

בהינתן \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\), \(1\leq i\leq n\) נסמן את השורה ה-\(i\) של \(A\) ב- \(\Lambda_{i}^{A}\).

הגדרה

תהי \(D:M_{n\times n}(\mathbb{F})\rightarrow\mathbb{F}\), \(1\leq i\leq n\).

אומרים כי \(D\) לינארית לפי השורה ה- \(i\) כאשר:

(1) לכל \(A,B,C\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) כך ש:

לכל \(1\leq j\leq n\) המקיים \(j\neq i\) מתקיים \(\Lambda_{j}^{A}=\Lambda_{j}^{B}=\Lambda_{j}^{C}\) וגם \(\Lambda_{i}^{A}+\Lambda_{i}^{B}=\Lambda_{i}^{C}\)

מתקיים \(D(A)+D(B)=D(C)\).

(2) לכל \(A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\), \(c\in\mathbb{F}\) כך ש-

לכל \(1\leq j\leq n\) המקיים \(j\neq i\) מתקיים \(\Lambda_{j}^{A}=\Lambda_{j}^{B}\)

וגם \(c\Lambda_{i}^{A}=\Lambda_{i}^{B}\)

מתקיים \(c\cdot D(A)=D(B)\).

דוגמה

\(n=2,i=1\), \(D:M_{2\times2}(\mathbb{F})\rightarrow\mathbb{F}\).

\(D\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}=a_{11}\).

נראה כי \(D\) אכן לינארית לפי השורה הראשונה (\(i=1\)).

1. חיבוריות

יהיו \(A,B,C\in M_{2\times2}(\mathbb{F})\) מטריצות בעלות שורה שנייה זהה (\(\Lambda_{2}^{A}=\Lambda_{2}^{B}=\Lambda_{2}^{C}\)), כך שהשורה הראשונה של \(C\) היא סכום השורות הראשונות של \(A\) ו-\(B\). נסמן את השורות הראשונות: \(\Lambda_{1}^{A}=(a_{11},a_{12})\) ו-\(\Lambda_{1}^{B}=(b_{11},b_{12})\). לכן השורה הראשונה של \(C\) היא: \[\Lambda_{1}^{C}=(a_{11}+b_{11},\,a_{12}+b_{12})\] לפי הגדרת הפונקציה \(D\), הערך תלוי רק באיבר הראשון בשורה הראשונה: \[D(C)=(a_{11}+b_{11})=a_{11}+b_{11}=D(A)+D(B)\] תנאי החיבוריות מתקיים.

2. כפל בסקלר (הומוגניות)

יהי \(c\in\mathbb{F}\) סקלר, ותהי \(B\) מטריצה המתקבלת מ-\(A\) על ידי הכפלת השורה הראשונה ב-\(c\) (כאשר השורה השנייה נותרת ללא שינוי). אם השורה הראשונה של \(A\) היא \((a_{11},a_{12})\), אזי השורה הראשונה של \(B\) היא \((c\cdot a_{11},c\cdot a_{12})\). לפי הגדרת הפונקציה: \[D(B)=c\cdot a_{11}=c\cdot(a_{11})=c\cdot D(A)\] תנאי הכפל בסקלר מתקיים.

מסקנה:

הפונקציה \(D\) מקיימת את שני התנאים ולכן היא לינארית לפי השורה הראשונה.

באופן דומה יכלנו לכתוב \(D\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}=a_{12}\) ולקבל פונקציה לינארית לפי השורה הראשונה אחרת. אבל אם היינו כותבים \(D\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}=a_{21}\) לא היינו מקבלים פונקציה לינארית לפי השורה הראשונה, אלא פונקציה לינארית לפי השורה השניה.
אבל מה אם נרצה פונקציה שלינארית גם לפי השורה הראשונה וגם לפי השורה השניה?

מולטי-לינאריות

הגדרה

תהי \(D:M_{n\times n}(\mathbb{F})\rightarrow\mathbb{F}\). אומרים כי \(D\) מולטי-לינארית כאשר \(D\) לינארית לפי השורה ה-\(i\) לכל \(1\leq i\leq n\).

דוגמה

\(n=2\), \(D:M_{2\times2}(\mathbb{F})\rightarrow\mathbb{F}\).

\(D\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}=a_{11}a_{21}\).

כדי להוכיח שהפונקציה מולטי-לינארית, נראה כי היא לינארית ביחס לכל שורה בנפרד.

1. לינאריות לפי השורה הראשונה (\(i=1\))

נניח כי השורה השנייה קבועה (ולכן \(a_{21}\) הוא סקלר קבוע). נבדוק שינויים בשורה הראשונה.

• חיבוריות: אם נחבר שתי שורות ראשונות (כאשר האיברים הראשונים הם \(a_{11}\) ו-\(a'_{11}\)), נקבל: \[(a_{11}+a'_{11})a_{21}=a_{11}a_{21}+a'_{11}a_{21}=D(A)+D(A')\]

• הומוגניות: אם נכפיל את השורה הראשונה בסקלר \(c\): \[(c\cdot a_{11})a_{21}=c\cdot(a_{11}a_{21})=c\cdot D(A)\]

הפונקציה לינארית לפי השורה הראשונה.

2. לינאריות לפי השורה השנייה (\(i=2\))

נניח כי השורה הראשונה קבועה (ולכן \(a_{11}\) הוא סקלר קבוע). נבדוק שינויים בשורה השנייה.

• חיבוריות: אם נחבר שתי שורות שניות (כאשר האיברים הם \(a_{21}\) ו-\(a'_{21}\)), נקבל: \[a_{11}(a_{21}+a'_{21})=a_{11}a_{21}+a_{11}a'_{21}=D(A)+D(A')\]

• הומוגניות: אם נכפיל את השורה השנייה בסקלר \(c\): \[a_{11}(c\cdot a_{21})=c\cdot(a_{11}a_{21})=c\cdot D(A)\]

הפונקציה לינארית לפי השורה השנייה.

מסקנה:

הפונקציה \(D\) לינארית ביחס לכל אחת משורות המטריצה, ולכן היא פונקציה מולטי-לינארית.

מולטי-לינאריות זו הגדרה חשובה להמשך הנושא של דטרמיננטות.