הרצאה 26 - 13.01.2026

תזכורת

סימון

תהי \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\). לכל \(1\le i\le n\), נסמן את השורה ה-\(i\) של \(A\) ב-\(\Lambda_{i}^{A}\). אזי, ניתן להציג את המטריצה \(A\) באופן הבא: \[A=\begin{pmatrix}\Lambda_{1}^{A}\\ \vdots\\ \Lambda_{n}^{A} \end{pmatrix}\]

1. הגדרה: פונקציה ליניארית לפי שורה

יהי \(1\le i\le n\). תהי \(D\colon M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פונקציה. הפונקציה \(D\) נקראת ליניארית לפי השורה ה-\(i\) אם מתקיימים התנאים הבאים:

1. לכל \(A,B,C\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) המקיימות: \[1)\quad\forall j\neq i,1\le j\le n:\quad\Lambda_{j}^{A}=\Lambda_{j}^{B}=\Lambda_{j}^{C}\] \[2)\quad\Lambda_{i}^{C}=\Lambda_{i}^{A}+\Lambda_{i}^{B}\] מתקיים: \[D(C)=D(A)+D(B)\]

2. לכל \(A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) וסקלר \(c\in\mathbb{F}\) המקיימים: \[1)\quad\forall j\neq i,1\le j\le n:\quad\Lambda_{j}^{A}=\Lambda_{j}^{B}\] \[2)\quad\Lambda_{i}^{B}=c\cdot\Lambda_{i}^{A}\] מתקיים: \[D(B)=c\cdot D(A)\]

2. הגדרה: פונקציה מולטי-ליניארית

פונקציה \(D\colon M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) נקראת מולטי-ליניארית כאשר לכל \(1\le i\le n\), \(D\) ליניארית לפי השורה ה-\(i\).

דוגמה

עבור \(n=2\): \[D\colon M_{2\times2}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\] המוגדרת באופן הבא: \[D\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}=a_{11}a_{21}\] זוהי פונקציה מולטי-ליניארית (ניתן לוודא שהיא ליניארית לפי השורה הראשונה וגם לפי השורה השנייה).

עכשיו נלמד תכונות של פונקציות מולטי-לינאריות.

3. תכונה: התאפסות פונקציה לינארית לפי שורה שהיא שורת אפסים

תהי \(D\colon M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פונקציה ליניארית לפי השורה ה-\(i\). תהי \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) מטריצה כך שהשורה ה-\(i\) שלה היא שורת אפסים, כלומר: \[\Lambda_{i}^{A}=(0,\dots,0)\] אזי מתקיים: \[D(A)=0\]

4. תכונה: התאפסות פונקציה מולטי-לינארית לפי שורת אפסים

תהי \(D\colon M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פונקציה מולטי-ליניארית.

תהי \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) מטריצה שיש בה שורת אפסים (כלומר, קיים אינדקס \(k\) שעבורו \(\Lambda_{k}^{A}=(0,\dots,0)\)). אזי מתקיים: \[D(A)=0\]

המטריצה \(A\) היא מהצורה: \[A=\begin{pmatrix}\Lambda_{1}^{A}\\ \vdots\\ \Lambda_{k}^{A}\\ \vdots\\ \Lambda_{n}^{A} \end{pmatrix}\] כאשר \(\Lambda_{k}^{A}=(0,\dots,0)\). מאחר ומתקיים \((0,\dots,0)=0\cdot(0,\dots,0)\), ומאחר והפונקציה \(D\) היא לינארית ביחס לשורה ה-\(k\), נוכל להוציא את הסקלר \(0\) מחוץ לפונקציה: \[D(A)=D\begin{pmatrix}\Lambda_{1}^{A}\\ \vdots\\ (0,\dots,0)\\ \vdots\\ \Lambda_{n}^{A} \end{pmatrix}=D\begin{pmatrix}\Lambda_{1}^{A}\\ \vdots\\ 0\cdot(0,\dots,0)\\ \vdots\\ \Lambda_{n}^{A} \end{pmatrix}=0\cdot D\begin{pmatrix}\Lambda_{1}^{A}\\ \vdots\\ (0,\dots,0)\\ \vdots\\ \Lambda_{n}^{A} \end{pmatrix}=0\]

פונקציה מתחלפת

אינטואיציה

בואו נחשוב מה קורה במטריצה שיש לה שתי שורות זהות.

למשל במקרה הדו-מימדי, במקום מקבילית מקבלים מקבילית מנוונת, פשוט קטע.

במקום u+v, מקבלים u+u.

(המחשה גיאומטרית

נשים לב שהנפח של זה הוא למעשה אפס)

אינטואיציה גיאומטרית: התאפסות פונקציית נפח על שורות זהות

השורות של המטריצה \(A\) מייצגות וקטורים הפורשים מקבילון במרחב \(n\)-ממדי. כאשר שתי שורות במטריצה הן זהות, \(\Lambda_{i}^{A}=\Lambda_{j}^{A}\), המשמעות היא ששני וקטורים הפורשים את הצורה מתלכדים (מצביעים לאותו כיוון ובעלי אותו אורך). כתוצאה מכך, המקבילון "קורס" לממד נמוך יותר (לדוגמה: מנפח תלת-ממדי למישור דו-ממדי שטוח). במצב זה, ה"נפח" ה-\(n\)-ממדי של הצורה חייב להיות \(0\).
בעזרת האספקט הזה נגדיר את המושג פונקציה מתחלפת, שבעזרתו נגדיר פונקציית נפח כפונקציה שהיא מולטי-לינארית ומתחלפת.

נשים לב - פונקציית נפח זה עוד לא ההגדרה של דטרמיננטה.

יש פונקציות נפח שאינן הדטרמיננטה, אבל הדטרמיננטה תהיה פונקציית נפח.
אוסף כל הפונקציות המקיימות את שתי התכונות הנל (מולטי-לינאריות ומתחלפת) הוא מרחב וקטורי ממימד 1. כלומר, יש אינסוף פונקציות כאלה, וההבדל ביניהן הוא רק כפל בסקלר (קבוע).

אז מה הופך פונקציית נפח לדטרמיננטה?

כדי שפונקציית נפח תהיה הדטרמיננטה, צריך להוסיף תנאי שלישי (תנאי נרמול): \[f(I)=1\] כלומר, הפונקציה צריכה להחזיר ערך של 1 עבור מטריצת היחידה (קוביה בנפח יחידה). זה נכון כי הדטרמיננטה היא מקרה פרטי (ויחיד) של משפחת פונקציות הנפח, אך לא כל פונקציית נפח היא בהכרח הדטרמיננטה.

5. הגדרה: פונקציה מתחלפת

תהי \(D\colon M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\). אומרים כי \(D\) מתחלפת כאשר לכל \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) כך ש- \(\exists1\leq k\leq n-1:\quad\Lambda_{k+1}^{A}=\Lambda_{k}^{A}\) מתקיים: \(D(A)=0\).
כלומר, כשיש למטריצה שתי שורות זהות סמוכות, פונקציה מתחלפת נותנת ערך של אפס כשמפעילים אותה עליה.

פונקציות נפח

6. הגדרה: פונקציית נפח

אומרים כי \(D\colon M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) היא פונקציית נפח (פ”נ) כאשר היא מולטי-ליניארית ומתחלפת.
עכשיו נלמד תכונות של פונקציות נפח.

כשאנחנו חוקרים פנ, קו המחשבה שלנו יהיה איך ערך שלה משתנה על מטריצה כאשר נבצע על המטריצה אחת מפעולות השורה האלמנטריות.

למשל, אם כופלים שורה בסקלר, אז לפי הגדרת הלינאריות לפי אותה שורה, הערך של פונ’ הנפח יהיה מוכפל באותו הסקלר.

7. תכונה

1. אם \(D_{1},D_{2}\colon M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) הן פ”נ, אז \(D_{1}+D_{2}\) היא גם פ”נ.

2. אם \(D\colon M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) היא פ”נ ו-\(c\in\mathbb{F}\) סקלר, אז \(c\cdot D\) היא גם פ”נ.

8. תכונה

תהי \(D\colon M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פ”נ, ותהי \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\). נסמן ב-\(\varepsilon\) את פעולת השורה האלמנטרית המוגדרת על ידי \(R_{i}\to c\cdot R_{i}\) (כפל השורה ה-\(i\) בסקלר \(c\in\mathbb{F}\)), עבור \(1\le i\le n\). אזי מתקיים: \[D(\varepsilon(A))=c\cdot D(A)\]

הוכחה

המטריצה \(A\) והמטריצה לאחר השינוי \(\varepsilon(A)\) נראות כך: \[A=\begin{pmatrix}\vdots\\ R_{i}\\ \vdots \end{pmatrix},\quad\varepsilon(A)=\begin{pmatrix}\vdots\\ c\cdot R_{i}\\ \vdots \end{pmatrix}\]

מכיוון ש-\(D\) היא פונקציה מולטי-ליניארית מתקיים

\[D(\varepsilon(A))=D\begin{pmatrix}\vdots\\ c\cdot R_{i}\\ \vdots \end{pmatrix}=c\cdot D\begin{pmatrix}\vdots\\ R_{i}\\ \vdots \end{pmatrix}=c\cdot D(A)\]

9. טענה

תהי \(D\colon M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פ”נ, ותהי \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\). נסמן ב-\(\varepsilon\) את פעולת השורה האלמנטרית המוגדרת על ידי \(R_{k}\leftrightarrow R_{k+1}\) (החלפת שורות סמוכות), עבור \(1\le k\le n-1\). אזי מתקיים: \[D(\varepsilon(A))=-D(A)\]

הוכחה

לכל \(1\le i\le n\) נסמן ב-\(\Lambda_{i}\) את השורה ה-\(i\) של \(A\). אזי: \[A=\begin{pmatrix}\vdots\\ \Lambda_{k-1}\\ \Lambda_{k}\\ \Lambda_{k+1}\\ \Lambda_{k+2}\\ \vdots \end{pmatrix}\] נגדיר מטריצות: \[A_{1}=\begin{pmatrix}\vdots\\ \Lambda_{k-1}\\ \Lambda_{k}+\Lambda_{k+1}\\ \Lambda_{k}+\Lambda_{k+1}\\ \Lambda_{k+2}\\ \vdots \end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}\vdots\\ \Lambda_{k-1}\\ \Lambda_{k}\\ \Lambda_{k}+\Lambda_{k+1}\\ \Lambda_{k+2}\\ \vdots \end{pmatrix},\quad A_{3}=\begin{pmatrix}\vdots\\ \Lambda_{k-1}\\ \Lambda_{k+1}\\ \Lambda_{k}+\Lambda_{k+1}\\ \Lambda_{k+2}\\ \vdots \end{pmatrix}\] מאחר ש-\(D\) פ”נ היא מתחלפת ולכן המטריצה \(A_{1}\) (שבה יש שתי שורות זהות סמוכות) מקיימת: \[D(A_{1})=0\] מאחר ש-\(D\) פ”נ היא מולטי-לינארית ובפרט ליניארית לפי השורה ה-\(k\) לכן \[D(A_{1})=D(A_{2})+D(A_{3})\]

למעשה נשים לב שהשורה ה-\(k\) של \(A_{1}\) היא סכום השורות ה-\(k\) של \(A_{2}\) ו-\(A_{3}\), ושאר השורות זהות בשלוש המטריצות.

לכן, מאחר ש-\(D\) ליניארית לפי השורה ה-\(k\), נקבל את זה.
נגדיר מטריצות נוספות: \[A_{4}=\begin{pmatrix}\vdots\\ \Lambda_{k-1}\\ \Lambda_{k}\\ \Lambda_{k}\\ \Lambda_{k+2}\\ \vdots \end{pmatrix},\quad A_{5}=\begin{pmatrix}\vdots\\ \Lambda_{k-1}\\ \Lambda_{k}\\ \Lambda_{k+1}\\ \Lambda_{k+2}\\ \vdots \end{pmatrix}=A\] \[A_{6}=\begin{pmatrix}\vdots\\ \Lambda_{k-1}\\ \Lambda_{k+1}\\ \Lambda_{k}\\ \Lambda_{k+2}\\ \vdots \end{pmatrix}=\varepsilon(A),\quad A_{7}=\begin{pmatrix}\vdots\\ \Lambda_{k-1}\\ \Lambda_{k+1}\\ \Lambda_{k+1}\\ \Lambda_{k+2}\\ \vdots \end{pmatrix}\] מאחר ש-\(D\) מתחלפת (ולמטריצות \(A_{4},A_{7}\) יש שורות סמוכות זהות), מתקיים: \[D(A_{4})=D(A_{7})=0\] מאחר ש-\(D\) ליניארית לפי השורה ה-\((k+1)\), מתקיים: \[D(A_{2})=D(A_{4})+D(A_{5})\] \[D(A_{3})=D(A_{6})+D(A_{7})\] לסיכום: \[0=D(A_{1})=\underbrace{D(A_{2})}_{D(A_{4})+D(A_{5})}+\underbrace{D(A_{3})}_{D(A_{6})+D(A_{7})}=\underbrace{D(A_{4})}_{0}+\underbrace{D(A_{5})}_{D(A)}+\underbrace{D(A_{6})}_{D(\varepsilon(A))}+\underbrace{D(A_{7})}_{0}\]

אז \[0=0+D(A)+D(\varepsilon(A))+0=D(A)+D(\varepsilon(A))\]

ולכן

\[D(\varepsilon(A))=-D(A)\]

עכשיו נרצה להרחיב את הטענה הזאת (9) למקרה שבו פעולת השורה האלמנטרית מחליפה שורות שהן לאו דווקא סמוכות.

10. טענה

תהי \(D\colon M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פ”נ, ותהי \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\). נסמן ב-\(\varepsilon\) את פעולת השורה האלמנטרית המוגדרת על ידי \(R_{i}\leftrightarrow R_{j}\) (החלפת שורות) עבור \(1\le i<j\le n\). אזי מתקיים: \[D(\varepsilon(A))=-D(A)\]

הוכחה

לכל \(1\le k\le n-1\) נסמן \(\varepsilon_{k}=R_{k}\leftrightarrow R_{k+1}\).

אז לכל \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) מתקיים השוויון הבא (הרכבת חילופים סמוכים): \[\varepsilon(A)=\varepsilon_{i}(\varepsilon_{i+1}(\dots\varepsilon_{j-2}(\varepsilon_{j-1}(\varepsilon_{j-2}(\dots\varepsilon_{i+1}(\varepsilon_{i}(A))\dots)))\dots))\] מכאן נובע כי ביצוע של פש”א \(\varepsilon\) שקול לביצוע של מספר אי-זוגי של פש”א מהצורה \(\varepsilon_{k}\) . לכן, לפי הטענה הקודמת (9), מתקיים: \[D(\varepsilon(A))=(-1)^{\text{odd}}D(A)=-D(A)\]

הסבר: מדוע החלפת שורות היא הרכבה של מספר פעמים אי-זוגי של החלפת שורות סמוכות

האינטואיציה: "טיול הלוך-חזור"

כדי להחליף בין השורה \(i\) לשורה \(j\) (כאשר \(i<j\)) בעזרת חילופי שכנים בלבד, עלינו לבצע את המהלכים הבאים:

1. הורדת השורה \(i\): אנו מעבירים את השורה ה-\(i\) מטה, "דילוג" אחרי "דילוג", עד שהיא מגיעה להיות השכנה הצמודה (מלמעלה) של השורה ה-\(j\). לשם כך אנו מפעילים סדרה של חילופים: \(\varepsilon_{i},\varepsilon_{i+1},\dots,\varepsilon_{j-2}\).

2. ההחלפה המרכזית: כעת, כשהשורות סמוכות (במקומות \(j-1\) ו-\(j\)), אנו מחליפים ביניהן. זוהי הפעולה \(\varepsilon_{j-1}\). פעולה זו מבוצעת פעם אחת בלבד.

3. העלאת השורה \(j\): כעת השורה שהייתה במקור ב-\(j\) נמצאת במיקום \(j-1\). עלינו להעלות אותה כל הדרך למעלה למקום ה-\(i\). אנו עושים זאת על ידי ביצוע אותם חילופים שעשינו קודם, אך בסדר הפוך: \(\varepsilon_{j-2},\dots,\varepsilon_{i}\).

ספירת החילופים

נסמן ב-\(K\) את מספר החילופים שנדרשו בשלב הראשון (הירידה). בשלב השלישי (העלייה) נדרש בדיוק אותו מספר חילופים, \(K\). בשלב השני (האמצעי) התבצע חילוף בודד (\(1\)). סה"כ מספר החילופים הוא: \[\text{Total}=\underbrace{K}_{\text{(step 1)}}+\underbrace{1}_{(\text{step }2)}+\underbrace{K}_{\text{(step 3)}}=2K+1\] המספר \(2\text{K}+1\) הוא בהכרח מספר אי-זוגי.
כלומר,רק אפסילון של \(\varepsilon_{j-1}\) חוזר פעם אחת כי הוא מחליף את שתי השורות החשובות בו זמנית.

דוגמה: החלפת שורות במטריצה \(3\times3\)

[אלכס המליץ לעשות לעצמנו דוגמה שכזאת]

נניח כי \(n=3\) ואנו רוצים להחליף את השורה הראשונה (\(R_{1}\)) עם השורה השלישית (\(R_{3}\)). כלומר: \(i=1,j=3\). המטריצה ההתחלתית: \[A=\begin{pmatrix}R_{1}\\ R_{2}\\ R_{3} \end{pmatrix}\] הנוסחה לביצוע החילוף באמצעות שכנים (לפי \(i=1,j=3\)) היא: \[\varepsilon=\varepsilon_{1}\circ\varepsilon_{2}\circ\varepsilon_{1}\] (שימו לב: \(\varepsilon_{j-1}=\varepsilon_{2}\) מופיע פעם אחת, ו-\(\varepsilon_{1}\) מופיע פעמיים).

ביצוע שלב אחר שלב:

1. שלב 1 (הפעלת \(\varepsilon_{1}\)): נחליף את שורה 1 עם שורה 2. \[\begin{pmatrix}R_{1}\\ R_{2}\\ R_{3} \end{pmatrix}\xrightarrow{\varepsilon_{1}}\begin{pmatrix}R_{2}\\ R_{1}\\ R_{3} \end{pmatrix}\] (כעת \(R_{1}\) ירדה שלב אחד).

2. שלב 2 (הפעלת \(\varepsilon_{2}\)): נחליף את שורה 2 עם שורה 3. \[\begin{pmatrix}R_{2}\\ R_{1}\\ R_{3} \end{pmatrix}\xrightarrow{\varepsilon_{2}}\begin{pmatrix}R_{2}\\ R_{3}\\ R_{1} \end{pmatrix}\] (כעת \(R_{1}\) הגיעה לתחתית, ו-\(R_{3}\) התחילה לעלות).

3. שלב 3 (הפעלת \(\varepsilon_{1}\)): נחליף את שורה 1 עם שורה 2. \[\begin{pmatrix}R_{2}\\ R_{3}\\ R_{1} \end{pmatrix}\xrightarrow{\varepsilon_{1}}\begin{pmatrix}R_{3}\\ R_{2}\\ R_{1} \end{pmatrix}\] (כעת \(R_{3}\) הגיעה לראש המטריצה).

מסקנה: ביצענו סך הכל 3 חילופים (מספר אי-זוגי), והגענו לתוצאה המבוקשת \(R_{1}\leftrightarrow R_{3}\). לכן: \[D(\varepsilon(A))=(-1)^{3}D(A)=-D(A)\]

מהטענה הזאת אפשר להסיק (זאת תהיה הטענה הבאה, שהיא חשובה) מה פ”נ מחזירה על מטריצה עם שתי שורות זהות שאינן סמוכות (\(-0=0\))...

(מה שעושים זה שאפשר ליצור ממטריצה כזאת מטריצה עם שתי שורות זהות וסמוכות עי החלפת שורה, ואז לפי מה שהראינו זה מינוס על הפונקציה על המטריצה הקודמת אבל זה יוצא מינוס על אפס שזה אפס)

11. טענה

תהי \(D\colon M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פ”נ.

תהי \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) כך שעבור \(1\le i<j\le n\) מתקיים: \[\Lambda_{i}^{A}=\Lambda_{j}^{A}\] אזי מתקיים: \[D(A)=0\]

הוכחה

אם \(j=i+1\) (השורות סמוכות), אזי \(D(A)=0\) כי \(D\) מתחלפת.

אם \(j\neq i+1\), נגדיר את פעולת השורה האלמנטרית \(\varepsilon=R_{i+1}\leftrightarrow R_{j}\) ונסמן \(B=\varepsilon(A)\). אזי מתקיים: \[\Lambda_{i}^{B}=\Lambda_{i}^{A}=\Lambda_{j}^{A}=\Lambda_{i+1}^{B}\] כלומר, במטריצה \(B\) השורות ה-\(i\) וה-\((i+1)\) (שהן שורות סמוכות) הן זהות. מכאן, כי \(D\) מתחלפת: \[D(B)=0\] לפי הטענה הקודמת (10), מתקיים: \[0=D(B)=D(\varepsilon(A))=-D(A)\] ולכן \(D(A)=0\).

עכשיו נראה הרחבה נוספת - אם שורה אחת היא מכפלה בסקלר של שורה אחרת, אז פונקציית נפח על המטריצה תחזיר שוב אפס.

12. טענה

תהי \(D\colon M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פ”נ. יהיו \(1\le i,j\le n\) עם \(i\neq j\) וסקלר \(c\in\mathbb{F}\). תהי \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) כך שמתקיים: \[\Lambda_{j}^{A}=c\Lambda_{i}^{A}\] אזי מתקיים: \[D(A)=0\]

הוכחה

אם \(c=0\), נקבל כי \(\Lambda_{j}^{A}\) היא שורת אפסים, ולכן לפי טענה שראינו (4) \(D(A)=0\). אם \(c\neq0\), נגדיר את פעולת השורה האלמנטרית \(\varepsilon=R_{i}\to cR_{i}\) ונסמן \(B=\varepsilon(A)\). לכן מתקיים: \[\Lambda_{i}^{B}=c\Lambda_{i}^{A}=\Lambda_{j}^{A}=\Lambda_{j}^{B}\] כלומר, למטריצה \(B\) יש שתי שורות זהות.

לכן, לפי הטענה הקודמת (11), \(D(B)=0\). בנוסף, ידוע כי: \[0=D(B)=cD(A)\] מאחר ש-\(c\neq0\), מתקיים \(D(A)=0\).

מכפילים את השורה ה-\(i\) בסקלר \(c\) (וכך השורה ה-\(i\) הופכת לשווה לשורה ה-\(j\)) כדי ליצור מטריצה חדשה \(B\) בעלת שתי שורות זהות - כבר הייתה לנו שורה שהיא כפל בסקלר של השורה המקורית ועכשיו הכפלנו את השורה המקורית באותו סקלר כדי שתהיה שווה לה. לכן \(D(B)=0\), ומתוך תכונת ההומוגניות (\(D(B)=c\cdot D(A)\)) וכך מסיקים שבהכרח \(D(A)=0\).

עכשיו נראה מה קורה כשעושים את הפשא האחרונה שחסרה לנו: הוספה של שורה אחרת כפול סקלר.

13. טענה

תהי \(D\colon M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פ”נ. יהיו \(1\le i,j\le n\) עם \(i\neq j\) וסקלר \(c\in\mathbb{F}\). תהי \(\varepsilon\) פעולת השורה האלמנטרית המוגדרת על ידי \(R_{i}\to R_{i}+cR_{j}\). אזי לכל \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) מתקיים: \[D(\varepsilon(A))=D(A)\]

הוכחה

מתקיים: \[A=\begin{pmatrix}\vdots\\ \Lambda_{i-1}\\ \Lambda_{i}\\ \Lambda_{i+1}\\ \vdots\\ \Lambda_{j}\\ \vdots \end{pmatrix}\] נגדיר מטריצת עזר \(A'\) כך: \[A'=\begin{pmatrix}\vdots\\ \Lambda_{i-1}\\ c\Lambda_{j}\\ \Lambda_{i+1}\\ \vdots\\ \Lambda_{j}\\ \vdots \end{pmatrix}\] המטריצה המתקבלת לאחר הפעולה היא: \[\varepsilon(A)=\begin{pmatrix}\vdots\\ \Lambda_{i-1}\\ \Lambda_{i}+c\Lambda_{j}\\ \Lambda_{i+1}\\ \vdots\\ \Lambda_{j}\\ \vdots \end{pmatrix}\] לפי הטענה הקודמת (12) מתקיים \(D(A')=0\) (שכן השורה ה-\(i\) היא כפולה בסקלר של השורה ה-\(j\)). בנוסף, לפי הליניאריות של \(D\) לפי השורה ה-\(i\) מתקיים: \[D(\varepsilon(A))=D(A')+D(A)=0+D(A)=D(A)\]