הרצאה 27 - 15.01.2026

הרצאת השלמה בחמישי

תזכורת

1. הגדרה: פונקציית נפח

פונקציה \(D:M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) נקראת פ”נ כאשר היא מולטי-לינארית ומתחלפת.

2. טענה

זו טענה המסכמת את הטענות שהוכחנו בהרצאה הקודמת על התנהגות פ”נ ביחס לפש”א.
יהיו \(D:M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פ”נ, \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) ו- \(\varepsilon\) פש”א. אז:

1. אם \(\varepsilon=R_{i}\to cR_{i}\) עבור \(c\neq0\), אז \(D(\varepsilon(A))=cD(A)\).

2. אם \(\varepsilon=R_{i}\to R_{i}+cR_{j}\) עבור \(j\neq i\), אז \(D(\varepsilon(A))=D(A)\).

3. אם \(\varepsilon=R_{i}\leftrightarrow R_{j}\) עבור \(j\neq i\), אז \(D(\varepsilon(A))=-D(A)\).

עכשיו נגדיר משהו חדש שיפשט את העבודה עם טענות על פ”נ.

3. הגדרה

כפי שראינו בטענה 2 בתזכורת, כשמפעילים פש”א על מטריצה מסוימת,

אנחנו יודעים להגיד איך הערך שפ”נ תחזיר עליה ישתנה.

וכפי שראינו, הוא ישתנה תמיד באופן מסוים: מקדם כלשהו כפול הערך שפונקציית הנפח מחזירה כשהיא מופעלת על המטריצה המקורית, כאשר המקדם הזה נקבע בדיוק לפי פעולת השורה האלמנטרית שעשינו למטריצה המקורית.

כאן אנחנו מגדירים את המקדם הזה, לעבודה יותר נוחה בהמשך.
לכל פש"א \(\varepsilon\) נגדיר את \(\mu(\varepsilon)\in\mathbb{F}\) באופן הבא:

1. אם \(\varepsilon=R_{i}\to cR_{i}\) כאשר \(c\neq0\), אז \(\mu(\varepsilon)=c\).

2. אם \(\varepsilon=R_{i}\to R_{i}+cR_{j}\) כאשר \(i\neq j\), אז \(\mu(\varepsilon)=1\).

3. אם \(\varepsilon=R_{i}\leftrightarrow R_{j}\) כאשר \(i\neq j\), אז \(\mu(\varepsilon)=-1\).

4. טענה

יהיו \(D:M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פ"נ, \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\), ו- \(\varepsilon\) פש"א. אזי: \[D(\varepsilon(A))=\mu(\varepsilon)\cdot D(A)\]

למעשה זה ניסוח מחדש של טענה קודמת (2), אותה הוכחנו כטענות מופרדות בהרצאה הקודמת.

5. טענה

תהי \(D:M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פ"נ, \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\). נסמן ב-\(\varepsilon_{1},\dots,\varepsilon_{k}\) את הפש"א שבעזרתן מדרגים את \(A\), ונסמן ב- \(R\) את המטריצה המדורגת המצומצמת המתקבלת בתהליך הדירוג. אז: \[D(R)=\mu(\varepsilon_{k})\cdot\cdots\cdot\mu(\varepsilon_{1})\cdot D(A)\]

הוכחה

מתקיים \(R=\varepsilon_{k}(\dots\varepsilon_{2}(\varepsilon_{1}(A))\dots)\). אז משימוש חוזר בטענה הקודמת (4) נובעת הנוסחה הנדרשת.

בפירוט:

נסמן את סדרת המטריצות בדרך לדירוג באופן הבא:

נגדיר \(A_{0}=A\).

נגדיר \(A_{1}=\varepsilon_{1}(A_{0})\). אז לפי טענה 4: \[D(A_{1})=\mu(\varepsilon_{1})\cdot D(A)\]

נגדיר \(A_{2}=\varepsilon_{2}(A_{1})\). נציב את הביטוי של \(D(A_{1})\): \[D(A_{2})=\mu(\varepsilon_{2})D(A_{1})=\mu(\varepsilon_{2})\cdot\mu(\varepsilon_{1})\cdot D(A)\] אם נמשיך בתהליך זה \(k\) פעמים, עבור המטריצה המדורגת הסופית \(R=A_{k}\), נקבל את מכפלת כל הסקלרים של הפעולות שבוצעו בדרך: \[D(R)=\mu(\varepsilon_{k})\cdot\mu(\varepsilon_{k-1})\cdot\dots\cdot\mu(\varepsilon_{1})D(A)\]

עכשיו בפעם הראשונה נוכל להגיד בדיוק מה מחזירה פ”נ על מטריצה מסוימת באופן שאינו יחסי:

כפי שלמדנו, במטריצה המדורגת-מצומצמת של מטריצה שאינה הפיכה יש שורת אפסים.

מכך ומהטענה שעכשיו הוכחנו אפשר להסיק שהערך של פ”נ עליה יהיה אפס. זאת תהיה הטענה הבאה.

6. טענה

תהי \(D:M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פ"נ. תהי \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) מטריצה שאינה הפיכה. אז \(D(A)=0\).

הוכחה

נסמן ב-\(R\) את המטריצה המדורגת המצומצמת המתקבלת מ-\(A\) ע"י דירוג, ונסמן ב- \(\varepsilon_{1},\dots,\varepsilon_{k}\) את הפש"א שנעשו במהלך הדירוג. אז (לפי טענה 5): \[D(R)=\mu(\varepsilon_{k})\cdot\dots\cdot\mu(\varepsilon_{1})\cdot D(A)\] מאחר ש-\(A\) אינה הפיכה, \(R\neq I_{n}\). לכן ב-\(R\) יש שורת אפסים, ומכאן (לפי תכונה 4 בסיכום שהכנתי להרצאה 26) \(D(R)=0\). מכך שלכל \(1\le i\le k\) מתקיים \(\mu(\varepsilon_{i})\neq0\) (מההגדרה), נקבל \(D(A)=0\).
המשפט הבא זה המשפט הכי חשוב על פ”נ.

ניזכר שמטריצה הפיכה תמיד שקולת שורה למטריצת היחידה.

7. משפט

תהיינה \(D,D':M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פונקציות נפח, כאשר \(D\neq0\)

(כלומר, קיימת מטריצה \(K\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) כך ש-\(D(K)\neq0\)).

אזי:

1. \(D(I_{n})\neq0\).

2. \(D'=cD\), כלומר לכל \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) מתקיים \(D'(A)=cD(A)\), כאשר הסקלר \(c\) מוגדר ע"י \(c=\frac{D'(I_{n})}{D(I_{n})}\).

הוכחה

1. לפי הטענה הקודמת (טענה 6) \(K\) מטריצה הפיכה. לכן ניתן לקבל את \(I_{n}\) מ-\(K\) ע"י סדרה של פש"א \(\varepsilon_{1},\dots,\varepsilon_{k}\). אז: \[D(I_{n})=\mu(\varepsilon_{k})\cdot\cdots\cdot\mu(\varepsilon_{1})\cdot D(K)\neq0\] (זאת מכיוון ש-\(D(K)\neq0\) וגם \(\mu(\varepsilon_{i})\neq0\) לכל \(i\)).

2. אם \(A\) אינה הפיכה, אז לפי הטענה הקודמת (טענה 6): \[D'(A)=0=c\cdot0=cD(A)\] והשוויון מתקיים.

אם \(A\) הפיכה, ניתן לקבל את \(I_{n}\) מ-\(A\) ע"י סדרה של פש"א \(\varepsilon_{1},\dots,\varepsilon_{k}\). לכן (לפי טענה 5) מתקיים: \[D(I_{n})=\mu(\varepsilon_{k})\cdot\dots\cdot\mu(\varepsilon_{1})\cdot D(A)\] וגם: \[D'(I_{n})=\mu(\varepsilon_{k})\cdot\dots\cdot\mu(\varepsilon_{1})\cdot D'(A)\] מכאן \[D'(A)=\frac{D'(I_{n})}{\mu(\varepsilon_{k})\cdot\dots\cdot\mu(\varepsilon_{1})}=\frac{D'(I_{n})\cdot D(A)}{\mu(\varepsilon_{k})\cdot\dots\cdot\mu(\varepsilon_{1})\cdot D(A)}=\frac{D'(I_{n})\cdot D(A)}{D(I_{n})}=c\cdot D(A)\]

הערכים \(\mu(\varepsilon_{k})\cdot\dots\cdot\mu(\varepsilon_{1})\) זהים בשתי המשוואות מכיוון שבשני המקרים מדובר על הפש”א שצריך להפעיל על אותה מטריצה \(A\) בשביל להעביר אותה לצורה מדורגת-מצומצמת.

8. הגדרה: פונקציית נפח מנורמלת

פונקציית נפח \(D:M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) נקראת מנורמלת כאשר: \[D(I_{n})=1\]

בעצם ראינו שפ”נ מאופיינת לפי הערך שהיא מחזירה כשמפעילים אותה על מטריצת היחידה, וכשהיא מחזירה 1 נקרא לה מנורמלת.

9. מסקנה

תהיינה \(D,D':M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פ"נ מנורמלות.

אז \(D'=D\), כלומר לכל \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) מתקיים \(D'(A)=D(A)\).

הוכחה

מאחר ש-\(D\) מנורמלת מתקיים \(D\neq0\) (שהרי \(D(I_{n})=1\)).

לפי המשפט הקודם, \(D'=cD\) כאשר: \[c=\frac{D'(I_{n})}{D(I_{n})}=\frac{1}{1}=1\] מכאן \(D'=D\).

כשהוכחנו את המסקנה הזאת הוכחנו למעשה את היחידות של פ”נ מנורמלת.
זה מה שרצינו להגדיר כל הזמן הזה: דטרמיננטה היא פ”נ מנורמלת.

\[\backslash(^{\wedge}O^{\wedge})/\]

המסקנה האחרונה היא בעצם משפט היחידות של הדטרמיננטה.

עכשיו רק חסר להוכיח שבכלל קיימת פנ כזאת וזה נעשה בהרצאה הבאה.