אלגברה ליניארית (1) - \(80134\) | האונ’ העברית | תשפ”ו א’ | מרצה: ד”ר אלכס גורביץ’ | מתרגל: מר יואב כהן | ליקוט ועריכה: נעם לב
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
מה שעדיין חסר זה הקיום: בשלב זה לא הראינו בשום צורה שפ”נ מנורמלת בכלל קיימת.
למעשה, הדוגמה היחידה לפ”נ שיש לנו עד כה היא פ”נ הטריוויאלית, ששולחת כל מטריצה לסקלר \(0\), והיא אמנם מקיימת את כל הדרישות אך היא אינה מנורמלת. המטרה של הרצאה זאת היא להוכיח שקיימות פ”נ נוספות ובפרט פ”נ מנורמלת. נוכיח זאת באינדוקציה: נראה איך לבנות פ”נ מנורמלת על מטריצות בגודל \(n\times n\) מתוך פ”נ מנורמלת על מטריצות בגודל \((n-1)\times(n-1)\), וכמובן שהבסיס קיים, מה שלא קשה: עבור \(n=1\) מטריצות בגודל \(1\times1\) הן פשוט איברים של השדה, דרישת המולטי-לינאריות הופכת לדרישת לינאריות, דרישת ההתחלפות אינה רלוונטית (אין שתי שורות), ודרישת הנורמליזציה אומרת שהמספר \(1\) יישלח ל-\(1\). השלב האינדוקטיבי הוא החלק העיקרי והמסובך.
כדי לנסח את הנוסחה שתבצע את שלב האינדוקציה, נזדקק למושג מינור של מטריצה.
1. הגדרה
תהי \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) מטריצה ריבועית, ויהיו \(1\le i,j\le n\).
נגדיר את \(A_{ij}\in M_{(n-1)\times(n-1)}(\mathbb{F})\) להיות המטריצה המתקבלת מ-\(A\) על ידי מחיקת השורה ה-\(i\) והעמודה ה-\(j\). נקרא לה מינור.
לכל זוג \(i,j\) מוגדר מינור, ולכן לכל מטריצה בגודל \(n\times n\) מוגדרים \(n^{2}\) מינורים, וכל אחד מהם הוא מטריצה בגודל \((n-1)\times(n-1)\).
\(a_{ij}\) הוא המספר שנמצא בשורה ה-\(i\) ובעמודה ה-\(j\) של \(A\), ואילו \(A_{ij}\) (באות גדולה) היא המטריצה שמתקבלת ממחיקת השורה והעמודה שבהן אותו מספר נמצא.
2. טענה [שלב האינדוקציה בבניית פ”נ מנורמלת]
תהי \(D':M_{(n-1)\times(n-1)}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פ”נ מנורמלת. יהי \(1\le j\le n\). נגדיר \(D:M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) ע”י: \[D(A)=(-1)^{j+1}\left(a_{1j}D'(A_{1j})-a_{2j}D'(A_{2j})+\dots+(-1)^{n+1}a_{nj}D'(A_{nj})\right)\] לכל \(A=\begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\).
אז \(D\) היא פ”נ מנורמלת.
יש \(n\) מחוברים, כאשר הסימן שלהם מתחלף, וכל מחובר הוא מהצורה \(a_{ij}\cdot D'(A_{ij})\).
כלומר, עוברים על כל המספרים שבעמודה ה-\(j\) של המטריצה, וכופלים כל אחד מהם ב-\(D'\) של המטריצה שמתקבלת ממחיקת השורה והעמודה שבהן הוא נמצא. כשהאינדקס הראשון אי-זוגי הסימן הוא פלוס, וכשהוא זוגי הסימן הוא מינוס. לכן המחובר ה-\(i\) מופיע עם המקדם \((-1)^{i+1}\), ואפשר לרשום את הנוסחה גם כך: \[D(A)=(-1)^{j+1}\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{ij}D'(A_{ij})\]
הוכחה
כדי להוכיח שהפונקציה \(D\) היא פ”נ מנורמלת, עלינו להוכיח שלושה דברים: שהיא מולטי-לינארית, שהיא מתחלפת, ושהיא מנורמלת.
שלב א’: \(D\) מולטי-לינארית
לכל \(1\le i\le n\) נגדיר \(D_{i}:M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) על ידי: \[D_{i}(A)=a_{ij}D'(A_{ij})\] לכל \(A=\begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\).
ראינו בתחילת הפרק שסכום של פונקציות מולטי-לינאריות הוא מולטי-לינארי, וכן שכפל של פונקציה מולטי-לינארית בסקלר נותן פונקציה מולטי-לינארית. מאחר ש-\(D=(-1)^{j+1}\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}D_{i}\), מספיק להוכיח כי \(D_{i}\) מולטי-לינארית לכל \(1\le i\le n\).
לא כל מחובר בנפרד הוא פ”נ. אמנם כל \(D_{i}\) בנפרד הוא מולטי-לינארי, אבל הוא לא מתחלף.
למשל, עבור \(i=j=1\) ומטריצה \(A\) ששתי שורותיה הראשונות זהות: במטריצה \(A_{11}\) מחקנו את השורה הראשונה, ולכן לא נשארו בה שתי שורות זהות ואי אפשר להסיק ש-\(D'(A_{11})=0\). לכן אנחנו זקוקים לכל המחוברים יחד, שהם אלה שיתנו לנו את ההתחלפות.
יהי \(1\le k\le n\). נוכיח כי \(D_{i}\) לינארית לפי השורה ה-\(k\), ונפריד לשני מקרים: \(k\neq i\) ו-\(k=i\).
מקרה א’: \(k\neq i\)
שמירה על חיבור:
יהי \(1\le k\le n\) כך ש-\(k\neq i\). נוכיח כי \(D_{i}\) היא לינארית לפי השורה ה-\(k\).
תהיינה \(A,B,C\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) כך שלכל \(1\le l\le n\), \(l\neq k\) מתקיים \(\Lambda_{l}^{A}=\Lambda_{l}^{B}=\Lambda_{l}^{C}\), וכן: \[(*)\qquad\Lambda_{k}^{A}+\Lambda_{k}^{B}=\Lambda_{k}^{C}\] בפרט, מאחר ש-\(i\neq k\), מתקיים \(\Lambda_{i}^{A}=\Lambda_{i}^{B}=\Lambda_{i}^{C}\) ולכן \(a_{ij}=b_{ij}=c_{ij}\).
מ-\((*)\) נובע שאם \(k<i\) אז \(\Lambda_{k}^{A_{ij}}+\Lambda_{k}^{B_{ij}}=\Lambda_{k}^{C_{ij}}\), ואם \(k>i\) אז \(\Lambda_{k-1}^{A_{ij}}+\Lambda_{k-1}^{B_{ij}}=\Lambda_{k-1}^{C_{ij}}\).
כשמוחקים מ-\(A,B,C\) את השורה ה-\(i\) ואת העמודה ה-\(j\), מקבלים שלוש מטריצות בגודל \((n-1)\times(n-1)\) שכל שורותיהן זהות בהתאמה חוץ משורה אחת, שעליה מתקיים אותו יחס כמו במטריצות המקוריות. אם מחקנו שורה שאחרי השורה ה-\(k\) האינדקס נשמר, ואם מחקנו שורה שלפניה האינדקס יורד ב-\(1\).
מאחר ש-\(D'\) היא מולטי-לינארית, מתקיים \(D'(A_{ij})+D'(B_{ij})=D'(C_{ij})\). מכאן: \[\begin{aligned} D_{i}(C) & =c_{ij}D'(C_{ij})=c_{ij}D'(A_{ij})+c_{ij}D'(B_{ij})=\\ & =a_{ij}D'(A_{ij})+b_{ij}D'(B_{ij})=D_{i}(A)+D_{i}(B) \end{aligned}\]
שמירה על כפל בסקלר:
תהיינה \(A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) ו-\(c\in\mathbb{F}\) כך שלכל \(1\le l\le n\), \(l\neq k\) מתקיים \(\Lambda_{l}^{A}=\Lambda_{l}^{B}\), וכן \(c\Lambda_{k}^{A}=\Lambda_{k}^{B}\).
אז באופן דומה אפשר להראות כי: \[D_{i}(B)=cD_{i}(A)\]
מקרה ב’: \(k=i\)
שמירה על חיבור:
נוכיח כי \(D_{i}\) לינארית לפי השורה ה-\(i\).
השורה שבה המטריצות נבדלות זו מזו היא בדיוק השורה שאותה אנחנו מוחקים, לכן הנימוקים של המקרה הקודם כבר אינם תקפים.
תהיינה \(A,B,C\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) כך שלכל \(1\le l\le n\), \(l\neq i\) מתקיים \(\Lambda_{l}^{A}=\Lambda_{l}^{B}=\Lambda_{l}^{C}\), וכן \(\Lambda_{i}^{A}+\Lambda_{i}^{B}=\Lambda_{i}^{C}\).
מכאן \(a_{ij}+b_{ij}=c_{ij}\), ובנוסף \(A_{ij}=B_{ij}=C_{ij}\).
\(A,B,C\) זהות בכל השורות חוץ מהשורה ה-\(i\), ולכן כשמוחקים בשלושתן דווקא את השורה ה-\(i\) (ואת אותה עמודה), נשארות שלוש מטריצות שכל שורותיהן שוות בהתאמה, כלומר שלוש מטריצות שוות.
מכאן: \[\begin{aligned} D_{i}(C) & =c_{ij}D'(C_{ij})=a_{ij}D'(C_{ij})+b_{ij}D'(C_{ij})=\\ & =a_{ij}D'(A_{ij})+b_{ij}D'(B_{ij})=D_{i}(A)+D_{i}(B) \end{aligned}\]
שמירה על כפל בסקלר:
תהיינה \(A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) ו-\(c\in\mathbb{F}\) כך שלכל \(1\le l\le n\), \(l\neq i\) מתקיים \(\Lambda_{l}^{A}=\Lambda_{l}^{B}\), וכן \(c\Lambda_{i}^{A}=\Lambda_{i}^{B}\). אז באופן דומה אפשר להראות כי: \[D_{i}(B)=cD_{i}(A)\]
לסיכום, \(D_{i}\) היא לינארית לפי השורה ה-\(k\) לכל \(1\le k\le n\), ולכן \(D_{i}\) מולטי-לינארית.
זה נכון לכל \(1\le i\le n\), ולכן גם \(D\) מולטי-לינארית.
שלב ב’: \(D\) מתחלפת
נזכיר שפונקציה נקראת מתחלפת כאשר לכל מטריצה שיש לה שתי שורות סמוכות וזהות היא מחזירה \(0\).
תהי \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) כך ש-\(\Lambda_{k}^{A}=\Lambda_{k+1}^{A}\).
לכל \(1\le i\le n\) כך ש-\(i\neq k\) ו-\(i\neq k+1\), למטריצה \(A_{ij}\) יש שתי שורות סמוכות זהות, ולכן \(D'(A_{ij})=0\).
אם מוחקים מ-\(A\) שורה שאיננה השורה ה-\(k\) ואיננה השורה ה-\(k+1\), שתי השורות הזהות נשארות במטריצה והן עדיין סמוכות (אם \(i>k+1\) האינדקסים שלהן נשארים \(k,k+1\), ואם \(i<k\) הם הופכים ל-\(k-1,k\)), ומאחר ש-\(D'\) מתחלפת מתקבל \(0\).
בנוסף, \(A_{kj}=A_{k+1\,j}\) וכן \(a_{kj}=a_{k+1\,j}\).
השורה ה-\(k\) והשורה ה-\(k+1\) סמוכות וזהות, ולכן לא משנה איזו מהשתיים נמחק, נקבל את אותה מטריצה, וגם המספרים שבעמודה ה-\(j\) בשתי השורות האלה שווים.
מכאן, כל המחוברים בנוסחה מתאפסים חוץ משניים, ומתקיים: \[D(A)=(-1)^{j+1}\left((-1)^{k+1}a_{kj}D'(A_{kj})+(-1)^{k+2}a_{k+1\,j}D'(A_{k+1\,j})\right)=0\]
שני המחוברים שנשארו שווים זה לזה בערכם המוחלט, אך הסימנים שלהם, \((-1)^{k+1}\) ו-\((-1)^{k+2}\) , הפוכים, ולכן הם מבטלים זה את זה והסכום מתאפס.
שלב ג’: \(D\) מנורמלת
תהי \(A=I_{n}\). אז לכל \(1\le i\le n\) כך ש-\(i\neq j\) מתקיים \(a_{ij}=0\), וכן \(a_{jj}=1\). כמו כן \(A_{jj}=I_{n-1}\).
מכאן: \[D(I_{n})=(-1)^{j+1}\left((-1)^{j+1}a_{jj}D'(A_{jj})\right)=(-1)^{2j+2}\cdot1\cdot D'(I_{n-1})=1\]
\(\square\)
הטענה שהוכחנו מבטיחה לנו את שלב האינדוקציה, ועכשיו אפשר לנסח את משפט הקיום של הדטרמיננטה.
3. משפט [קיום פ”נ מנורמלת]
לכל \(n\in\mathbb{N}\) קיימת פ”נ מנורמלת \(D:M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\).
הוכחה
נוכיח באינדוקציה על \(n\).
בסיס: עבור \(n=1\) מתקיים \(M_{1\times1}(\mathbb{F})=\mathbb{F}\), ונגדיר \(D=\text{Id}_{\mathbb{F}}\). אז \(D\) פ”נ מנורמלת.
פונ’ הזהות היא לינארית לפי השורה היחידה, היא מתחלפת באופן ריק, והיא מנורמלת שכן היא מחזירה \(1\) עבור מטריצת היחידה.
שלב האינדוקציה: נניח כי \(D':M_{(n-1)\times(n-1)}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) היא פ”נ מנורמלת.
נבחר \(1\le j\le n\) כלשהו, ונגדיר \(D:M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) כמו בטענה הקודמת. אז \(D\) היא פ”נ מנורמלת.
4. סיכום: הגדרת הדטרמיננטה
לכל \(n\in\mathbb{N}\) קיימת פ”נ מנורמלת יחידה מ-\(M_{n\times n}(\mathbb{F})\) ל-\(\mathbb{F}\). פונקציה זו נקראת דטרמיננטה ומסומנת ב-\(\det\).
\(\backslash(^{\wedge}O^{\wedge})/\) (או \(\backslash(v\_v)/\) אם שואלים את אקסלר)
בסימון \(\det\) לא מציינים את גודל המטריצות שעליהן הפונקציה מוגדרת, למרות שלמעשה לכל \(n\) יש פונקציה משלו.
בבניית \(D\) בחרנו \(j\) כלשהו, ולכאורה נראה שמכל פ”נ מנורמלת על מטריצות בגודל \((n-1)\times(n-1)\) אנחנו מקבלים \(n\) פונקציות שונות על מטריצות בגודל \(n\times n\). אבל הוכחנו שפ”נ מנורמלת היא יחידה, ולכן לא משנה איזה \(j\) נבחר, הנוסחה תחזיר תמיד את אותה הפונקציה. לאותה פונקציה יכולות להיות נוסחאות רבות, אבל הערך שהיא מחזירה עבור מטריצה נתונה הוא תמיד אותו ערך.
5. דוגמה: הדטרמיננטה של מטריצה \(2\times2\)
חישוב לפי \(j=1\)
ניקח \(n=2\), \(D'=\text{Id}_{\mathbb{F}}\) ו-\(j=1\), ותהי \(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\). אז: \[D(A)=(-1)^{1+1}\left(a_{11}D'(A_{11})-a_{21}D'(A_{21})\right)=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\]
\(A_{11}=(a_{22})\), ו- \(A_{21}=(a_{12})\).
חישוב לפי \(j=2\)
ניקח \(n=2\), \(D'=\text{Id}_{\mathbb{F}}\) ו-\(j=2\), ותהי \(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\). אז: \[\begin{aligned} D(A) & =(-1)^{2+1}\left(a_{12}D'(A_{12})-a_{22}D'(A_{22})\right)=\\ & =-\left(a_{12}a_{21}-a_{22}a_{11}\right)=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} \end{aligned}\]
קיבלנו את אותה התוצאה בדיוק, כפי שמבטיחה היחידות.
גם עבור \(n=3\) והבחירות \(j=1,2,3\) נקבל שלוש נוסחאות שנראות שונות אך נותנות אותו ביטוי אחרי סידור.