הרצאה 29 ואחרונה - 20.01.2026

תזכורת

1. הגדרה: דטרמיננטה

פ”נ מנורמלת מ-\(M_{n\times n}(\mathbb{F})\) ל-\(\mathbb{F}\) נקראת דטרמיננטה ומסומנת ב-\(\det\).

2. טענה [התנהגות פ”נ תחת פש”א]

תהי \(D:M_{n\times n}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}\) פ”נ, \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) ו-\(\varepsilon\) פש”א. אז: \[D(\varepsilon(A))=\mu(\varepsilon)\cdot D(A)\]

נזכיר את הערכים של \(\mu(\varepsilon)\):

1. אם \(\varepsilon=R_{i}\to cR_{i}\) כאשר \(c\neq0\), אז \(\mu(\varepsilon)=c\).

2. אם \(\varepsilon=R_{i}\to R_{i}+cR_{j}\) כאשר \(i\neq j\), אז \(\mu(\varepsilon)=1\).

3. אם \(\varepsilon=R_{i}\leftrightarrow R_{j}\) כאשר \(i\neq j\), אז \(\mu(\varepsilon)=-1\).

מכיוון שהדטרמיננטה היא פ”נ, כל הטענות שהוכחנו על פונקציות נפח תקפות לגביה. לכן, מלבד הנוסחה מההרצאה הקודמת, יש דרך יעילה יותר לחשב דטרמיננטה של מטריצה נתונה: לדרג אותה בעזרת פש”א, ולעקוב אחרי הסקלר שבו הדטרמיננטה מוכפלת בכל שלב. בסוף מתקבלת מטריצה מדורגת קנונית, שהיא או מטריצת היחידה (ואז הדטרמיננטה המקורית מתקבלת מהסקלרים שנצברו), או מטריצה עם שורת אפסים (ואז הדטרמיננטה המקורית היא \(0\)).

3. למה [הקבוע של פש”א הוא הדטרמיננטה של המטריצה האלמנטרית]

תהי \(\varepsilon\) פש”א. אז: \[\mu(\varepsilon)=\det\varepsilon(I_{n})\]

הוכחה

\[\det(\varepsilon(I_{n}))=\mu(\varepsilon)\det(I_{n})=\mu(\varepsilon)\]

הלמה הזאת נכונה אך ורק לדטרמיננטה, ולא לכל פ”נ. בשוויון הראשון השתמשנו בטענה 2 (שנכונה לכל פ”נ), אבל בשוויון השני השתמשנו באופן מהותי בכך שהדטרמיננטה מנורמלת, כלומר \(\det(I_{n})=1\).

4. טענה

תהי \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) ו-\(\varepsilon\) פש”א. אז: \[\det(\varepsilon(I_{n})A)=\det\varepsilon(I_{n})\cdot\det A\]

הוכחה

\[\det(\varepsilon(I_{n})\cdot A)=\det(\varepsilon(A))=\mu(\varepsilon)\det A=\det\varepsilon(I_{n})\cdot\det A\]

בשוויון הראשון השתמשנו בטענה שראינו כשהתחלנו לדבר על מטריצות אלמנטריות: כפל של מטריצה במטריצה האלמנטרית המתאימה ל-\(\varepsilon\) משמאל שקול להפעלת \(\varepsilon\) על אותה מטריצה. בשוויון השני השתמשנו בטענה 2, ובשלישי בלמה 3.

5. למה

תהיינה \(A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\). אם \(A\) אינה הפיכה, אז \(AB\) אינה הפיכה.

הוכחה

נניח בשלילה כי \(AB\) הפיכה. כלומר, קיימת \(C\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) כך ש-\(C(AB)=(AB)C=I_{n}\).

מכאן \(A(BC)=I_{n}\), ולכן גם \((BC)A=I_{n}\), ולכן \(A\) הפיכה - סתירה.

6. משפט

תהיינה \(A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\). אז: \[\det(AB)=\det A\cdot\det B\]

הוכחה

מקרה 1: \(A\) אינה הפיכה.

אז לפי למה 5 גם \(AB\) אינה הפיכה. לכן: \[\det(AB)=0=0\cdot\det B=\det A\cdot\det B\]

מקרה 2: \(A\) הפיכה.

אז קיימת סדרה של פש”א \(\varepsilon_{1},\dots,\varepsilon_{k}\) כך ש: \[I_{n}=\varepsilon_{k}(\dots\varepsilon_{2}(\varepsilon_{1}(A))\dots)\]

לכל \(1\le i\le k\) נסמן ב-\(\delta_{i}\) את הפש”א ההופכית ל-\(\varepsilon_{i}\). אז: \[\delta_{1}(\delta_{2}(\dots(\delta_{k}(I_{n}))\dots))=\delta_{1}(\delta_{2}(\dots(\delta_{k}(\varepsilon_{k}(\dots(\varepsilon_{2}(\varepsilon_{1}(A)))\dots)))\dots))=A\]

כל \(\delta_{i}\) מבטלת את \(\varepsilon_{i}\) שלידה, וכך כולן מצטמצמות בזוגות ונשארים עם \(A\).

מכאן, מאחר שהפעלת פש”א על מטריצה שקולה לכפל במטריצה האלמנטרית המתאימה משמאל: \[\delta_{1}(I_{n})\cdot\delta_{2}(I_{n})\cdot\dots\cdot\delta_{k-1}(I_{n})\cdot\delta_{k}(I_{n})=A\]

לכן, בעזרת טענה 4 (\(k-1\) פעמים): \[\begin{aligned} \det A & =\det\left(\delta_{1}(I_{n})\cdot\delta_{2}(I_{n})\cdot\dots\cdot\delta_{k}(I_{n})\right)=\det\delta_{1}(I_{n})\cdot\det\left(\delta_{2}(I_{n})\cdot\dots\cdot\delta_{k}(I_{n})\right)=\\ & =\det\delta_{1}(I_{n})\cdot\det\delta_{2}(I_{n})\cdot\dots\cdot\det\delta_{k}(I_{n}) \end{aligned}\]

ובאותו אופן, עבור המכפלה \(AB\): \[\begin{aligned} \det(AB) & =\det\left(\delta_{1}(I_{n})\cdot\dots\cdot\delta_{k}(I_{n})\cdot B\right)=\det\delta_{1}(I_{n})\cdot\det\left(\delta_{2}(I_{n})\cdot\dots\cdot\delta_{k}(I_{n})\cdot B\right)=\dots=\\ & =\det\delta_{1}(I_{n})\cdot\dots\cdot\det\delta_{k}(I_{n})\cdot\det B=\det A\cdot\det B \end{aligned}\]

7. מסקנה [דטרמיננטה של מטריצה הפיכה ושל ההופכית שלה]

אם \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) הפיכה, אז \(\det A\neq0\).

בנוסף, אם \(B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) הופכית ל-\(A\), אז: \[\det B=\frac{1}{\det A}\]

הוכחה

מתקיים \(AB=I_{n}\). מכאן: \[1=\det I_{n}=\det(AB)=\det A\cdot\det B\]

לכן \(\det A\neq0\) (אחרת היינו מקבלים \(0=1\)),ו- \(\det B=\frac{1}{\det A}\).

ראינו כבר שאם מטריצה אינה הפיכה אז הדטרמיננטה שלה היא \(0\). יחד עם המסקנה הזאת מתקבל קריטריון נוסף להפיכות: מטריצה ריבועית \(A\) היא הפיכה אם”ם \(\det A\neq0\).

8. תזכורת: מטריצות דומות

מטריצות ריבועיות \(A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) נקראות דומות כאשר קיימת \(P\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) הפיכה כך ש: \[B=P^{-1}AP\]

9. מסקנה [למטריצות דומות יש אותה דטרמיננטה]

תהיינה \(A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) דומות. אז \(\det A=\det B\).

הוכחה

קיימת \(P\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\) הפיכה כך ש-\(B=P^{-1}AP\). מכאן: \[\det B=\det(P^{-1}AP)=\det(P^{-1})\det(AP)=\frac{1}{\det P}\cdot\det A\cdot\det P=\det A\]

המסקנה נותנת דרך חדשה להראות ששתי מטריצות אינן דומות: אם הדטרמיננטות שלהן שונות.

10. למה [פש”א המתאימה למטריצה האלמנטרית המשוחלפת]

תהי \(\varepsilon\) פש”א. אז קיימת פש”א \(\varepsilon^{*}\) כך ש: \[\varepsilon^{*}(I_{n})=\varepsilon(I_{n})^{t},\quad\mu(\varepsilon^{*})=\mu(\varepsilon)\]

הוכחה

נעבור על שלוש האפשרויות לפש”א.

1. אם \(\varepsilon=R_{i}\to cR_{i}\) כאשר \(c\neq0\), אז: \[\varepsilon(I_{n})=\begin{pmatrix}1 & & & & 0\\ & \ddots\\ & & c\\ & & & \ddots\\ 0 & & & & 1 \end{pmatrix}\] זו מטריצה סימטרית, כלומר \(\varepsilon(I_{n})^{t}=\varepsilon(I_{n})\). אז נגדיר \(\varepsilon^{*}=\varepsilon\).

2. אם \(\varepsilon=R_{i}\leftrightarrow R_{j}\) כאשר \(i\neq j\), אז: \[\varepsilon(I_{n})=\begin{pmatrix}1\\ & 0 & & 1\\ & & \ddots\\ & 1 & & 0\\ & & & & 1 \end{pmatrix}\] גם זו מטריצה סימטרית, כלומר \(\varepsilon(I_{n})^{t}=\varepsilon(I_{n})\). אז נגדיר \(\varepsilon^{*}=\varepsilon\).

3. אם \(\varepsilon=R_{i}\to R_{i}+cR_{j}\) כאשר \(i\neq j\), אז: \[\varepsilon(I_{n})=\begin{pmatrix}1\\ & \ddots & & c\\ & & \ddots\\ & & & \ddots\\ & & & & 1 \end{pmatrix}\qquad\varepsilon(I_{n})^{t}=\begin{pmatrix}1\\ & \ddots\\ & & \ddots\\ & c & & \ddots\\ & & & & 1 \end{pmatrix}\] כאן המטריצה אינה סימטרית: ב-\(\varepsilon(I_{n})\) הסקלר \(c\) יושב במקום \((i,j)\), ובמשוחלפת הוא עובר למקום \((j,i)\). נגדיר \(\varepsilon^{*}=R_{j}\to R_{j}+cR_{i}\), ואז \(\varepsilon^{*}(I_{n})=\varepsilon(I_{n})^{t}\). כמו כן: \[\mu(\varepsilon^{*})=1=\mu(\varepsilon)\] שהרי שתי הפעולות הן מסוג הוספת כפולה של שורה לשורה אחרת.

11. משפט [דטרמיננטה של מטריצה משוחלפת]

תהי \(A\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\). אז: \[\det(A^{t})=\det(A)\]

הוכחה

מקרה 1: \(A\) אינה הפיכה. אז \(A^{t}\) אינה הפיכה (כי אחרת, היינו מקבלים ש- \(A=(A^{t})^{t}\) הפיכה וזו סתירה). לכן: \[\det A^{t}=0=\det A\]

מקרה 2: \(A\) הפיכה.

אז (כמו בהוכחת משפט 6) קיימת סדרה של פש”א \(\varepsilon_{1},\dots,\varepsilon_{k}\) כך ש- \(I_{n}=\varepsilon_{k}(\dots\varepsilon_{2}(\varepsilon_{1}(A))\dots)\).

לכל \(1\le i\le k\) נסמן ב-\(\delta_{i}\) את הפש”א ההופכית ל-\(\varepsilon_{i}\), ונקבל: \[A=\delta_{1}(I_{n})\cdot\dots\cdot\delta_{k}(I_{n}),\quad\det A=\det\delta_{1}(I_{n})\cdot\dots\cdot\det\delta_{k}(I_{n})\]

מכאן, מאחר שהשחלוף של מכפלה הוא מכפלת השחלופים בסדר הפוך: \[A^{t}=\left(\delta_{1}(I_{n})\cdot\dots\cdot\delta_{k}(I_{n})\right)^{t}=\delta_{k}(I_{n})^{t}\cdot\dots\cdot\delta_{1}(I_{n})^{t}\]

לפי למה 10, לכל \(1\le i\le k\) קיימת פש”א \(\delta_{i}^{*}\) כך ש- \(\delta_{i}^{*}(I_{n})=\delta_{i}(I_{n})^{t}\), לכן \(\mu(\delta_{i}^{*})=\mu(\delta_{i})\).

מכאן, ממשפט 6 נובע כי: \[\begin{aligned} \det A^{t} & =\det\delta_{k}(I_{n})^{t}\cdot\dots\cdot\det\delta_{1}(I_{n})^{t}=\det\delta_{k}^{*}(I_{n})\cdot\dots\cdot\det\delta_{1}^{*}(I_{n})=\\ & =\mu(\delta_{k}^{*})\cdot\dots\cdot\mu(\delta_{1}^{*})=\mu(\delta_{1})\cdot\dots\cdot\mu(\delta_{k})=\\ & =\det\delta_{1}(I_{n})\cdot\dots\cdot\det\delta_{k}(I_{n})=\det A \end{aligned}\]

במעבר מ-\(\mu(\delta_{k}^{*})\cdot\dots\cdot\mu(\delta_{1}^{*})\) ל-\(\mu(\delta_{1})\cdot\dots\cdot\mu(\delta_{k})\) מחקנו את הכוכביות לפי הלמה וגם שינינו את סדר הגורמים. זה מותר כי כולם סקלרים והכפל בשדה חילופי. את המעברים מ-\(\det\) ל-\(\mu\) ובחזרה עשינו לפי למה 3.

למשפט הזה יש הרבה מאוד תועלת. הגדרנו פ”נ כפונקציה מולטי-לינארית, כאשר הלינאריות התייחסה לשורות של המטריצה. אבל השורות של \(A^{t}\) הן העמודות של \(A\), ומאחר ש-\(\det A^{t}=\det A\), כל טענה שניסחנו על פעולות שורה תקפה באותה מידה לפעולות עמודה. למשל, אם נכפול עמודה של מטריצה בסקלר, הדטרמיננטה תוכפל באותו סקלר.

12. תזכורת: פיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה

יהי \(n\in\mathbb{N}\), \(1\le j\le n\), ותהי \(A=\begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\in M_{n\times n}(\mathbb{F})\). אז: \[\det A=(-1)^{j+1}\left(a_{1j}\det(A_{1j})-a_{2j}\det(A_{2j})+\dots+(-1)^{n+1}a_{nj}\det(A_{nj})\right)\]

הסקלרים \(a_{1j},a_{2j},\dots,a_{nj}\) נמצאים כולם בעמודה ה-\(j\) של המטריצה, ולכן היא נקראת נוסחת הפיתוח של הדטרמיננטה לפי העמודה ה-\(j\).

13. מסקנה: פיתוח הדטרמיננטה לפי שורה

באותן ההנחות מתקיים: \[\det A=\det A^{t}=(-1)^{j+1}\left(a_{j1}\det(A_{j1})-a_{j2}\det(A_{j2})+\dots+(-1)^{n+1}a_{jn}\det(A_{jn})\right)\]

במטריצה המשוחלפת כל האינדקסים מתהפכים: מה שעומד בשורה ה-\(i\) ובעמודה ה-\(j\) של \(A^{t}\) הוא \(a_{ji}\) ולא \(a_{ij}\).

לכן מתקבלת אותה נוסחה כאשר כל האינדקסים הפוכים.

הסקלרים \(a_{j1},a_{j2},\dots,a_{jn}\) נמצאים כולם בשורה ה-\(j\) של המטריצה, ולכן הנוסחה נקראת נוסחת הפיתוח של הדטרמיננטה לפי השורה ה-\(j\).

מבנה המבחן

בסוף ההרצאה אלכס כתב על הלוח את מבנה המבחן:

• חלק א’: 2 שאלות (הוכחות מההרצאה), צריך לבחור שאלה אחת.

• חלק ב’: 7 שאלות (פתוחות, בסגנון תרגילי הבית), צריך לבחור 6 שאלות.

משך המבחן הוא שלוש שעות. בהוכחות מההרצאה מותר להסתמך על טענות קודמות מהקורס בלי להוכיח אותן, אבל חובה לציין במפורש על מה מסתמכים.

בהצלחה לכולנו ותודה מיוחדת ליואב המתרגל!