האוניברסיטה העברית | אלגברה ליניארית (2) - \(80135\) | סמסטר 2027 א’ (תשפ“ז א’) | מרצה: פרופסור יבגני סטרחוב | מתרגל: מר לזר גוטרמן
הסיכום הוא לא רשמי ולא עבר אישור של הסגל, על כן אין להשתמש בו (ובין השאר במספור שלו ובשמות הטענות שבו) כמקור רשמי. אם ישנן טעויות, הן שלי ולא של הסגל.
מנהלה
מהרצאה 1
ספרות מומלצת עבור הקורס: \(\text{Linear Algebra Done Right by Axler}\), נמצא בחינם באינטרנט וקיימת גם גרסה מתורגמת לעברית.
שעת קבלה: יום ד’, חמש עד שש אחה“צ.
נתמקד בהעתקות לינאריות מ-מ“ו לעצמו, ובעיקר מעל \(\mathbb{R}\) ו-\(\mathbb{C}\).
דברים שחשוב לרענן מלינארית 1: מטריצה מייצגת של ה“ל, ה“ל הפיכה היא חח“ע ועל, חישוב ומציאת בסיס לגרעין ותמונה.
מבנה הציון בקורס: \(95\%\) מבחן סופי, \(5\%\) תרגילי בית. הבחנים לא ישפיעו, הם רק למשוב.
האם יש בונוס על תרגולים פעילים - יעודכן בהמשך.
מהתרגול
בסמסטר הנוכחי התרגול בקורס יועבר על ידי מתרגל אחד, מר לזר גוטרמן.
שעת קבלה: ימי ג’ בשעה 11:00 (אם לא מתאים אפשר לשלוח אימייל ולקבוע שעה אחרת).
בכל שבוע יפורסם תרגיל בית, ויש להגישו בתוך שבוע ממועד הפרסום.
במהלך הסמסטר יתקיימו שלושה בחנים, בערך פעם בחודש.
הבחינה הסופית תכלול שלושה פרקים: הפרק הראשון יעסוק בחומר העיוני מההרצאות (הגדרות ומשפטים), ושני הפרקים האחרים יכללו בעיות דומות לאלה שנלמדו בתרגולים, בתרגילי הבית ובבחנים.
רענון הגדרות (היה בתרג“פ)
הומומורפיזם
הומומורפיזם הוא ה“ל מ-מ“ו ל-מ“ו כאשר שניהם מעל אותו שדה \(\mathbb{F}\). קבוצת ההומומורפיזמים היא \[\text{\text{Hom}(V,W)}=\left\{ T\mid T:V\rightarrow W\text{ is a LT}\right\}\]
היא כשלעצמה מ“ו מעל \(\mathbb{F}\).
אנדומורפיזם
הומומורפיזם ממ“ו לעצמו. קבוצת האנדומורפיזמים של מ“ו \(V\) היא \[\text{\text{End}(V)}=\text{\text{Hom}(V,V)}\]
איזומורפיזם
ה“ל \(T:V\rightarrow W\) תיקרא איזומורפיזם אם היא חח“ע ועל. אם קיימת כזו, אז \(W\) ממימד סופי אם“ם גם \(V\) ממימד סופי, ובמקרה זה המימדים שלהם שווים \[\dim(V)=\dim(W)\]
\(T\) איזומורפיזם אם“ם קיימת ה“ל \(S:W\rightarrow V\) כך ש- \[TS=\text{Id}_{W}\] \[ST=\text{Id}_{V}\]
הקשר בין הומומורפיזם למטריצה
\(\left[\clubsuit\right]\) יהיו \(V,W\) מ“ו ממימד סופי מעל \(\mathbb{F}\), עם \(\dim(V)=n\) ו- \(\dim(W)=m\).
יהיו \(\mathcal{B}=\left(u_{1},\dots,u_{n}\right)\) בסיס של \(V\) ו-\(\mathcal{C}\) בסיס של \(W\).
אז לכל \(T\in\text{\text{Hom}(V,W)}\) קיימת מטריצה \[\left[T\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\in M_{m\times n}\left(\mathbb{F}\right)\] כך שהעמודה ה-\(j\) שלה היא \(\left[T\left(u_{j}\right)\right]_{\mathcal{C}}\) ולכל \(v\in V\) מתקיים \[\left[T(v)\right]_{\mathcal{C}}=\left[T\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\left[v\right]_{\mathcal{B}}\]
\(\left[\diamondsuit\right]\) נוכל להסתכל על ה“ל שלוקחת ה“ל \(T\) ומחזירה את המטריצה המייצגת אותה.
ה“ל זו היא איזומורפיזם של מ“ו.
בנוסף, אם ה“ל זו מתאימה לה“ל \(T:V\rightarrow W\) מטריצה עם \(m\) שורות ו-\(n\) עמודות, אז \[\dim\text{Hom}\left(V,W\right)=mn\] \(\left[\heartsuit\right]\) עבור \(S:W\rightarrow U\) עם בסיס \(\mathcal{D}\) של \(U\) מתקיים \[\left[ST\right]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{B}}=\left[S\right]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}}\left[T\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\]
\(\left[\spadesuit\right]\) אם \(T\in\text{End\ensuremath{\left(V\right)}}\), החלפת בסיס נותנת מטריצות דומות \[\left[T\right]_{\mathcal{B}'}=P^{-1}\left[T\right]_{\mathcal{B}}P\] כאשר \(P=\left[\text{Id}_{V}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\) היא מטריצת המעבר מ-\(\mathcal{B}'\) ל-\(\mathcal{B}\).
\(\left[\triangle\right]\) \(T\) הוא איזומורפיזם אם“ם \(\left[T\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\) הפיכה (ובפרט \(m=n\)). במקרה זה \[\left[T^{-1}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}=\left(\left[T\right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\right)^{-1}\]
הגדרה - אופרטור לינארי
עבור מ“ו (מרחב וקטורי) \(V\) מעל \(\mathbb{F}\) \((\mathbb{F}\underset{(*)}{=}\mathbb{C},\mathbb{R})\), הקבוצה הבאה \[\mathcal{L}(V)=\left\{ T:V\rightarrow V:T\text{ is a LT}\right\} =\text{Hom}(V,V)=\text{Hom}_{\mathbb{F}}(V,V)\] היא קבוצת האופרטורים הלינאריים במרחב \(V\).
\((*)\) כמו בספר של אקסלר, בד“כ \(\mathbb{F}\) יתייחס לשדות \(\mathbb{C}\) ו-\(\mathbb{R}\).
\(\text{Null, Range}\)
יהי \(V\) מ“ו מעל \(\mathbb{F}\) ותהא \(T\in\mathcal{L}(V)\). אז
\[\text{Null}(T)\overset{\text{def}}{=}\left\{ v\in V:T(v)=0_{V}\right\}\] \[\text{Range}(T)\overset{\text{def}}{=}\left\{ v\in V:\exists v'\in V\text{ s.t. }T(v')=v\right\}\]
(אלה הגרעין והתמונה מלינארית 1, \(\text{Null}\) זה קרנל).
הגדרה - \(\text{Invariant subspace of \ensuremath{T}}\) - תת-מרחב שמור תחת \(T\)
עבור מ“ו \(V\) מעל שדה \(\mathbb{F}\), תמ“ו \(U\) של \(V\), ו- \(T\in\mathcal{L}(V)\), אם \[\forall u\in U:T(u)\in U\] אז נאמר כי \(U\) הוא תמ“ו שמור תחת \(T\).
במילים אחרות, \(T(U)\subseteq U\) .
דוגמאות
דוגמה 1
יהי \(T\in\mathcal{L}(V)\). אז \(V\) ו-\(\{0_{V}\}\) שניהם תמ“ו שמורים תחת \(T\).
הוכחה
מעצם הגדרת אופרטור לינארי, \(T(V)\subseteq V\) וגם \(T\left(0_{V}\right)=0_{V}\).
דוגמה 2
\(V=\mathbb{R}^{3}\), \(T_{\theta}\) - סיבוב בזווית \(\theta\notin\left\{ k\pi:k\in\mathbb{Z}\right\}\) סביב ציר \(\hat{z}\) נגד כיוון השעון.
\(T_{\theta}\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^{3})\).
אז \[U_{1}=\mathbb{R}^{3}\] \[U_{2}=\{(0,0,0)\}\] \[U_{3}=\{(x,y,0)\mid x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}\] \[U_{4}=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}\]
הם כל התמו“ים השמורים תחת \(T_{\theta}\).
הוכחה (לא היה בהרצאה - אוכיח רק כיוון אחד):
נשים לב כי
\[T_{\theta}\left(e_{1}\right)=T_{\theta}\left(\left(1,0,0\right)\right)=\left(\cos\theta,\sin\theta,0\right)\] \[T_{\theta}\left(e_{2}\right)=T_{\theta}\left(\left(0,1,0\right)\right)=\left(-\sin\theta,\cos\theta,0\right)\] \[T_{\theta}\left(e_{3}\right)=T_{\theta}\left(\left(0,0,1\right)\right)=\left(0,0,1\right)\]
ומתכונות אופרטור לינארי \[T_{\theta}\left(x,y,z\right)=xT_{\theta}(e_{1})+yT_{\theta}(e_{2})+zT_{\theta}(e_{3})\] \[=\left(x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta+y\cos\theta,z\right)\]
אם כך, המטריצה המייצגת של הה“ל היא \[\left[T_{\theta}\right]=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
בדוגמה 1 כבר הוכחנו ש-\(U_{1},U_{2}\) הם תמ“ו-ים שמורים תחת \(T_{\theta}\).
\(U_{3}\) הוא תמ“ו שמור:
\[T_{\theta}\left(x,y,0\right)=xT_{\theta}\left(e_{1}\right)+yT_{\theta}\left(e_{2}\right)=\left(x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta+y\cos\theta,0\right)\in U_{3}\] \(U_{4}\) הוא תמ“ו שמור: \[T_{\theta}\left(0,0,z\right)=zT_{\theta}\left(e_{3}\right)=\left(0,0,z\right)\in U_{4}\]
בשביל להוכיח שאין תמ“ו שמורים נוספים, לוקחים תמ“ו שמור \(W\) ועוברים על כל האופציות לפי המימד שלו.
דוגמה 3
\(V=\mathbb{R}^{2}\), \(T_{\theta}\) - סיבוב בזווית \(\theta\notin\left\{ k\pi:k\in\mathbb{Z}\right\}\) סביב \(\left(0,0\right)\) נגד השעון.
אז \[U_{1}=\left\{ \left(0,0\right)\right\} ,\quad U_{2}=\mathbb{R}^{2}\] הם כל התמ“וים השמורים תחת \(T_{\theta}\).
הוכחה (לא היה בהרצאה)
כיוון ראשון: בדוגמה 1 כבר הוכחנו ש-\(U_{1},U_{2}\) הם תמ“ו-ים שמורים תחת \(T_{\theta}\).
כיוון שני: יהי \(W\) תמ“ו שמור תחת \(T_{\theta}\).
אם \(\dim(W)=0\) אז \(W=\left\{ v_{0}\right\} =U_{1}\).
אם \(\dim(W)=1\) אז לכל בסיס של \(W\) יש בדיוק וקטור אחד שאינו אפס ולכן קיים \(v_{0}\ne w\in W\) כך ש \[W=\text{Span}\left(w\right)=\left\{ cw:c\in\mathbb{R}\right\}\]
היות ו-\(W\) תמ“ו שמור, \[\forall v\in W,\ T_{\theta}(v)\in W\] לכן
\[\forall v\in W\ \exists c\in\mathbb{R}\text{ s.t. }T_{\theta}(v)=cw\]
ובפרט, נסמן \(w=\left(a,b\right)\) ונקבל \[\exists c\in\mathbb{R}\text{ s.t. }cw=T_{\theta}(w)\]
מכאן \[\left(ca,cb\right)=aT_{\theta}(e_{1})+bT_{\theta}(e_{2})=\left(a\cos\theta-b\sin\theta,a\sin\theta+b\cos\theta\right)\]
כלומר
\[\begin{cases} ca=a\cos\theta-b\sin\theta\\ cb=a\sin\theta+b\cos\theta \end{cases}\]
מכאן \[\begin{cases} cab=ab\cos\theta-b^{2}\sin\theta\\ cab=a^{2}\sin\theta+ab\cos\theta \end{cases}\]
לכן \[a^{2}\sin\theta=-b^{2}\sin\theta\ \Rightarrow\ \left(a^{2}+b^{2}\right)\sin\theta=0\ \underset{\left(a,b\right)\ne\left(0,0\right)}{\Rightarrow}\ \sin\theta=0\]
בסתירה לכך ש-\(\theta\notin\left\{ k\pi:k\in\mathbb{Z}\right\}\).
אם \(\dim(W)=2\) אז ניזכר שתמ“ו של מ“ו נוצר סופית מאותו מימד שווה למ“ו על כן \(W=U_{2}\).
היות ומימד של תמ“ו נ“ס קטן או שווה למימד של המ“ו, אין עוד מקרים לבדוק וסיימנו.
דוגמה 4 (טענה: גרעין וטווח הם תמ“ו שמורים תחת \(T\))
יהי \(V\) מ“ו מעל \(\mathbb{F}\) ותהא \(T\in\mathcal{L}(V)\).
אז \(\text{Null}(T)\) ו-\(\text{Range}(T)\) הם תמיד תמ“וים שמורים תחת \(T\).
הוכחה (כן היה בהרצאה)
לכל \(v\in\text{Null}(T)\) מתקיים \(T(V)=0_{V}\), אבל \(0_{V}\in\text{Null}\left(T\right)\) כי זה תמ“ו, לכן זה תמ“ו שמור תחת \(T\).
בנוסף, לכל \(v\in\text{Range}(T)\) מהגדרת הטווח, קיים \(v'\in V\) כך ש- \(T(v')=v\in V\).
אז גם \(T\left(v\right)=T\left(T\left(v'\right)\right)\in\text{Range}(T)\) כנדרש.
על אילו שאלות אנו מנסים לענות
יהי \(T\in\mathcal{L}(V)\).
מהם תת-מרחבים השמורים תחת \(T\)?
כיצד ניתן לאפיין אותם?
כיצד תת-מרחבים השמורים תחת \(T\) מאפשרים לקבל הצגה מטריציאלית הפשוטה ככל האפשר עבור \(T\)?
שאלה \(\left(\text{III}\right)\) היא המשמעותית ביותר.
“הפשוטה ככל האפשר”, הווה אומר, כאשר כמה שיותר מספרים במטריצה שווים ל-0.
לכל אופרטור יש מטריצה מייצגת ביחס לבסיס מסוים - נחפש את הבסיסים שיאפשרו את המטריצה המייצגת הפשוטה ביותר (שאפשר לראות מה היא עושה לכל וקטור רק מלהסתכל) - זאת האידיאולוגיה בקורס.
כמובן, הכל תלוי בשדה ובתמ”ו.
נחפש בסיסים נכונים
דוגמה וטענה - קריטריון מטריציוני לתמ”ו שמור
\(V\) - מרחב מעל \(\mathbb{F}\), \(\dim V=n\geq2\), \(T\in\mathcal{L}(V)\).
\(\mathcal{B}_{V}=(v_{1},\dots,v_{n})\) בסיס במרחב \(V\). \[M(T,\mathcal{B}_{V},\mathcal{B}_{V})\overset{\text{def}}{=}(a_{i,j})_{i,j=1}^{n}\] כאשר \[T(v_{j})=\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i},\quad1\leq j\leq n\]
נניח כי \[M(T,\mathcal{B}_{V},\mathcal{B}_{V})=\left(\begin{array}{ccc|ccc} a_{1,1} & \cdots & a_{1,k} & a_{1,k+1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{k,1} & \cdots & a_{k,k} & a_{k,k+1} & \cdots & a_{k,n}\\ \hline 0_{\mathbb{F}} & \cdots & 0_{\mathbb{F}} & a_{k+1,k+1} & \cdots & a_{k+1,n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} & \cdots & 0_{\mathbb{F}} & a_{n,k+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right)\] (למשל \(a_{k+1,1}=0_{\mathbb{F}}\)).
כלומר, \(a_{i,j}=0_{\mathbb{F}}\) לכל \(i>k\) ו-\(j\le k\) עבור \(1\le k<n\) כלשהו.
אז התמ”ו \(U=\text{Span}(v_{1},\dots,v_{k})\) הוא תמ”ו שמור תחת \(T\).
\(M(T,\mathcal{B}_{V},\mathcal{B}_{V})\) זו המטריצה המייצגת \(\left[T\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}\) מלינארית 1 - העמודה ה-\(j\) היא \(\left[T\left(v_{j}\right)\right]_{\mathcal{B}}\).
הסימון \(M\left(T,\mathcal{B},\mathcal{B}\right)\) הוא הסימון של אקסלר.
תזכורת:
עבור מ”ו \(V\) מעל \(\mathbb{F}\) עם בסיס \(\mathcal{B}_{V}=\left(v_{1},\dots,v_{n}\right)\) ואופרטור \(T\in\mathcal{L}(V)\), \[M(T,B_{V},B_{V})=[T]_{B_{V}}^{B_{V}}=\begin{pmatrix}| & & |\\ \left[T\left(v_{1}\right)\right]_{B_{V}} & \dots & \left[T\left(v_{n}\right)\right]_{B_{V}}\\ | & & | \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1,1} & & a_{1,n}\\ \vdots & \dots & \vdots\\ a_{n,1} & & a_{n,n} \end{pmatrix}\text{ s.t.}\] \[\begin{cases} T(v_{1})=a_{1,1}v_{1}+\dots+a_{n,1}v_{n}\\ \vdots\\ T(v_{n})=a_{1,n}v_{1}+\dots+a_{n,n}v_{n} \end{cases}\]
הוכחה
\[\begin{aligned} T(v_{1}) & =a_{1,1}v_{1}+\dots+a_{k,1}v_{k}+\underset{=0_{\mathbb{F}}}{\underbrace{a_{k+1,1}}}v_{k+1}+\dots+\underset{=0_{\mathbb{F}}}{\underbrace{a_{n,1}}}v_{n}\\ & \vdots\\ T(v_{k}) & =a_{1,k}v_{1}+\dots+a_{k,k}v_{k}+\underset{=0_{\mathbb{F}}}{\underbrace{a_{k+1,k}}}v_{k+1}+\dots+\underset{=0_{\mathbb{F}}}{\underbrace{a_{n,k}}}v_{n} \end{aligned}\]
לכן \(T(v_{1}),\dots,T(v_{k})\in\text{Span}(v_{1},\dots,v_{k})\)
נניח כי \(u\in U\). אזי \(u=d_{1}v_{1}+\dots+d_{k}v_{k}\) ומתקיים \[T(u)=T(d_{1}v_{1}+\dots+d_{k}v_{k})=d_{1}T(v_{1})+\dots+d_{k}T(v_{k})\] אבל \[T(v_{1})\in\text{Span}(v_{1},\dots,v_{k})\] \[\vdots\] \[T(v_{k})\in\text{Span}(v_{1},\dots,v_{k})\] \[T(u)\in\underset{=U}{\underbrace{\text{Span}(v_{1},\dots,v_{k})}}\quad\Leftarrow\] \(\blacksquare\)
(לא היה בהרצאה) גם הכיוון ההפוך נכון: אם \(U\) תמ”ו שמור תחת \(T\), אז לכל \(j\le k\) מתקיים \(T(v_{j})\in\text{Span\ensuremath{\left(v_{1},\dots,v_{k}\right)}}\) ומיחידות ההצגה לפי בסיס, לכל \(i>k\) מתקיים \(a_{i.j}=0_{\mathbb{F}}\).
הערה
אם נניח כי בנוסף
\[\begin{aligned} & a_{1,k+1}=\dots=a_{1,n}=0_{\mathbb{F}}\\ & \vdots\\ & a_{k,k+1}=\dots=a_{k,n}=0_{\mathbb{F}} \end{aligned}\]
כלומר \[M(T,\mathcal{B}_{V},\mathcal{B}_{V})=\left(\begin{array}{c|c} * & 0\\ \hline 0 & * \end{array}\right)\] אזי נקבל ש-\(U_{2}=\text{Span}(v_{k+1},\dots,v_{n})\) הוא תת-מרחב שמור תחת \(T\), וגם מתקיים \[V=U_{1}\oplus U_{2}\]
משפט - סכום ישר של תמ”וים שמורים נותן מטריצה אלכסונית בבלוקים
יהי \(V\) מ”ו מעל \(\mathbb{F}\) עם \(\dim V=n\) כך ש- \(n\geq2\).
אם \(U_{1}\) ו-\(U_{2}\) שניהם תמ”וים שמורים תחת \(T\) כך שמתקיים \(V=U_{1}\oplus U_{2}\) אז קיים בסיס \(\mathcal{B}_{V}\) כך שמתקיים \[M(T,\mathcal{B}_{V},\mathcal{B}_{V})=\left(\begin{array}{ccc|ccc} a_{1,1} & \cdots & a_{1,k} & 0_{\mathbb{F}} & \cdots & 0_{\mathbb{F}}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{k,1} & \cdots & a_{k,k} & 0_{\mathbb{F}} & \cdots & 0_{\mathbb{F}}\\ \hline 0_{\mathbb{F}} & \cdots & 0_{\mathbb{F}} & a_{k+1,k+1} & \cdots & a_{k+1,n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} & \cdots & 0_{\mathbb{F}} & a_{n,k+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right)\]
הוכחה
נבחר בסיס \(\mathcal{B}_{U_{1}}=(v_{1},\dots,v_{k})\) ונבחר בסיס \(\mathcal{B}_{U_{2}}=(v_{k+1},\dots,v_{n})\).
מאחר ש-\(V=U_{1}\oplus U_{2}\), מתקיים \(U_{1}\cap U_{2}=\{0_{V}\}\) וגם \(\dim U_{1}+\dim U_{2}=\dim V\), לכן \[\mathcal{B}_{V}=(v_{1},\dots,v_{k},v_{k+1},\dots,v_{n})\]
הוא בסיס של \(V\). אבל בגלל שאלו תמ”וים שמורים נקבל
\[\begin{aligned} T(v_{1}) & =a_{1,1}v_{1}+\dots+a_{k,1}v_{k}+0_{\mathbb{F}}v_{k+1}+\dots+0_{\mathbb{F}}v_{n}\in U_{1}\\ & \vdots\\ T(v_{k}) & =a_{1,k}v_{1}+\dots+a_{k,k}v_{k}+0_{\mathbb{F}}v_{k+1}+\dots+0_{\mathbb{F}}v_{n}\in U_{1}\\ T(v_{k+1}) & =0_{\mathbb{F}}v_{1}+\dots+0_{\mathbb{F}}v_{k}+a_{k+1,k+1}v_{k+1}+\dots+a_{n,k+1}v_{n}\in U_{2}\\ & \vdots\\ T(v_{n}) & =0_{\mathbb{F}}v_{1}+\dots+0_{\mathbb{F}}v_{k}+a_{k+1,n}v_{k+1}+\dots+a_{n,n}v_{n}\in U_{2} \end{aligned}\]
כנדרש.
\(\blacksquare\)
ערך עצמי של אופרטור
הגדרה - ערך עצמי של אופרטור
יהי \(V\) מ”ו מעל \(\mathbb{F}\).
עבור אופרטור \(T\in\mathcal{L}(V)\), אם קיים וקטור \(0_{V}\ne v\in V\) כך שמתקיים \[T(v)=\lambda v\] כאשר \(\lambda\in\mathbb{F}\), נאמר כי \(\lambda\) הוא ערך עצמי (\(\text{Eigenvalue}\)) של \(T\).
הגדרה - וקטור עצמי
לכל \(v\) כזה נקרא וקטור עצמי של \(T\) השייך ל-\(\lambda\).
תוספות מהכותב
\(\left[\clubsuit\right]\) ערך עצמי מוגדר לפי אופרטור ו-וקטור עצמי מוגדר לפי ערך עצמי.
\(\left[\spadesuit\right]\) ערך עצמי מגדיר תמ”ו של \(V\) הנקרא מרחב עצמי (\(\text{Eigenspace}\)) \[E_{\lambda}(T)=\left\{ v\in V:T(v)=\lambda v\right\}\] עבור \(u,w\in E_{\lambda}(T)\), \(c\in\mathbb{F}\) מתקיים \[T(u+cw)\underset{\text{T isa LT}}{=}T(u)+cT(w)\underset{\text{eigenspace property}}{=}\lambda u+c\lambda w=\lambda(u+cw)\]
כלומר המרחב סגור לחיבור וכפל בסקלר.
בנוסף, \[T(0)=\lambda\cdot0\] לכן \(0\in E_{\lambda}(T)\). (אסור להגדיר ערך עצמי בעזרת וקטור האפס כי אז כל ערך יהיה ערך עצמי, אבל ברגע שכבר יש ערך עצמי זה טריוויאלי שוקטור האפס שייך למרחב העצמי שהוא משרה).
משפט מהתרגול: אופרטור \(T\) הפיך \(\iff\) 0 הוא לא ערך עצמי שלו
Proof. יהי \(T\in\mathcal{L}(V)\) כך ש-\(V\) נוצר סופית.
כיוון ראשון: נניח כי \(T\) הפיך.
יהי \(v\in V\) כך ש- \(T\left(v\right)=0\).
אז \[v=T^{-1}T\left(v\right)=T^{-1}\left(0\right)=0\]
כלומר \(v\) חייב להיות וקטור האפס.
נניח בשלילה כי אפס הוא ערך עצמי.
אז קיים וקטור \(w\) שאינו וקטור האפס כך ש- \[T(w)=0\cdot w=0\] וזאת סתירה.
כיוון שני: נניח כי 0 הוא לא ערך עצמי.
אז לא קיים וקטור \(w\ne0_{V}\) כך ש- \[T(w)=0\cdot w=0\]
מכאן \[\text{Null}(T)=\left\{ 0\right\}\]
ניזכר במשפט שלמדנו בלינארית 1, לפיו ה”ל \(T\) היא חח”ע אם”ם הגרעין שלה הוא \(\{0\}\), ולכן \(T\) חח”ע.
בנוסף, מכך ש-\(T\) אופרטור, \(T\) הוא אנדומורפיזם ולכן התמונה שלו מוכלת ב-\(V\), על כן לפי אחד ממשפטי המימדים \[\dim\text{Im}(T)=\dim V-\dim\text{Null}(T)=\dim V-0=\dim V\]
ותמ”ו ממימד של המ”ו בו הוא מוכל שווה למ”ו, על כן \[\text{Im}(T)=V\] ו-\(T\) גם על.
בסה”כ, קיבלנו ש-\(T\) הפיך, כנדרש. ∎