אלגברה ליניארית 2 - הרצאה 3

הוכחה. (I) 1. נסמן \(\mathcal{B}_{V}=(v_{1},\dots,v_{n})\), כאשר \(v_{j}\) וקטור עצמי השייך ל-\(\lambda_{j}\).

לפי המשפט [וקטורים עצמיים השייכים לערכים עצמיים שונים הם בת”ל] מהרצאה 2, \((v_{1},\dots,v_{n})\) בלתי תלויה לינארית, ויש בה \(n=\dim V\) וקטורים, לכן [לפי משפט מלינארית 1] היא בסיס של \(V\).

2. נחשב את המטריצה המייצגת בבסיס הזה: \[\begin{aligned} T(v_{1}) & =\lambda_{1}v_{1}+0_{\mathbb{F}}v_{2}+\dots+0_{\mathbb{F}}v_{n}\\ T(v_{2}) & =0_{\mathbb{F}}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\dots+0_{\mathbb{F}}v_{n}\\ & \vdots\\ T(v_{n}) & =0_{\mathbb{F}}v_{1}+0_{\mathbb{F}}v_{2}+\dots+\lambda_{n}v_{n} \end{aligned}\] \[\Rightarrow M(T,\mathcal{B}_{V},\mathcal{B}_{V})=\begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0_{\mathbb{F}} & \cdots & 0_{\mathbb{F}}\\ 0_{\mathbb{F}} & \lambda_{2} & \cdots & 0_{\mathbb{F}}\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} & 0_{\mathbb{F}} & \cdots & \lambda_{n} \end{pmatrix}\]  ∎

הוכחה. (II) 1. יהי \(j\in\left\{ 1,\dots,n\right\}\), נסתכל על \(\text{Null}(T-\lambda_{j}I)\).

\(T-\lambda_{j}I\) זה אופרטור (כצ”ל של אופרטורים).

בהרצאה 15 באלגברה לינארית 1 הוכחנו שגרעין של כל ה”ל הוא תמ”ו, לכן \(\text{Null}(T-\lambda_{j}I)\) זה תמ”ו ונותר להוכיח שזה תמ”ו שמור תחת \(T\).

2. יהי \(u\in\text{Null}(T-\lambda_{j}I)\) ונוכיח כי \(T(u)\in\text{Null}(T-\lambda_{j}I)\). מהגדרת הגרעין \[(T-\lambda_{j}I)(u)=0_{V}\implies T(u)=\lambda_{j}u\]

3. \[(T-\lambda_{j}I)\left(T(u)\right)\underset{(2)}{=}(T-\lambda_{j}I)(\lambda_{j}u)=T\left(\lambda_{j}u\right)-\lambda_{j}^{2}u=\lambda_{j}\cdot T\left(u\right)-\lambda_{j}^{2}u\underset{(2)}{=}\lambda_{j}^{2}u-\lambda_{j}^{2}u=0_{V}\] \[\Rightarrow T(u)\in\text{Null}(T-\lambda_{j}I)\] כנדרש. ∎

הוכחה. (III) 1. צריך להראות כי כל וקטור \(v\in V\) ניתן להציג באופן יחיד כ- \[v=u_{1}+\dots+u_{n}\] כאשר \[\begin{aligned} u_{1}\in & \text{\ Null}(T-\lambda_{1}I)\\ & \vdots\\ u_{n}\in & \text{\ Null}(T-\lambda_{n}I) \end{aligned}\]

2. הוכחת קיום: נשתמש בבסיס \(\mathcal{B}_{V}\) מההוכחה של (I). אז \[\exists\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{F}\text{ s.t. }v=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}\] ונסמן \[\begin{aligned} u_{1}= & \ \alpha_{1}v_{1}\\ & \vdots\\ u_{n}= & \ \alpha_{n}v_{n} \end{aligned}\] נשים לב כי לכל \(1\le i\le n\) מתקיים \[(T-\lambda_{i}I)\left(u_{i}\right)=T(u_{i})-\lambda_{i}u_{i}=T(\alpha_{i}v_{i})-\lambda_{i}\alpha_{i}v_{i}\] \[=\alpha_{i}\left(T(v_{i})-\lambda_{i}v_{i}\right)=\alpha_{i}\left(\lambda_{i}v_{i}-\lambda_{i}v_{i}\right)=0_{V}\] \[\Rightarrow u_{i}\in\text{Null}(T-\lambda_{i}I)\] כלומר, ההצגה קיימת.

3. הוכחת יחידות: אם \[u_{1}+\dots+u_{n}=v=u_{1}'+\dots+u_{n}'\]

כך שלכל \(1\le i\le n\) מתקיים \(u_{i},u_{i}'\in\text{Null}(T-\lambda_{i}I)\), אז נגדיר \[\forall1\le i\le n,\quad w_{i}=u_{i}-u_{i}'\] בנוסף, \(\text{Null}(T-\lambda_{i}I)\) הוא תמ”ו לכן סגור לחיבור וכפל בסקלר מכאן \(w_{i}\in\text{Null}(T-\lambda_{i}I)\)

ונקבל \[w_{1}+\dots+w_{n}=v-v=0_{V}\] נניח בשלילה שקיימים \(w_{i}\ne0_{V}\).

אז הם לא שווים ל-\(0_{V}\) וכל אחד מהם מקיים \(w_{i}\in\text{Null}(T-\lambda_{i}I)\), לכן הם וקטורים עצמיים.

אז גם הסכום שלהם שווה ל-\(0_{V}\) (כי אלה שכבר שווים ל-\(0_{V}\) לא תורמים), אבל הם וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים ולכן לפי המשפט שהוכחנו בסוף הרצאה 2 הם בת”ל, וזאת סתירה כי כאן הם שווים ל-\(0_{V}\) בתור צ”ל לא טריוויאלי (עם מקדמים 1).

4. לכן לכל \(i\), \(w_{i}=0_{V}\) מכאן \(u_{i}=u_{i}'\) וההצגה היא יחידה כנדרש. ∎

הוכחה. (VI) 1. יהי \(1\le i\le n\).

אז מההנחה \(T(v_{i})-\lambda_{i}v_{i}=0_{V}\) לכן \(v_{i}\in\text{Null}(T-\lambda_{i}I)\).

אבל \(\text{Null}(T-\lambda_{i}I)\) הוא תמ”ו, לכן לפי המשפט שלמדנו בלינארית 1 לפיו פרוש של וקטור הוא התמ”ו המינימלי המכיל אותו, \(\text{Span}(v_{i})\subseteq\text{Null}(T-\lambda_{i}I)\). בנוסף, מתקיים \(\dim\left(\text{Span}(v_{i})\right)=1\).

2. לכן \(\dim\left(\text{Null}(T-\lambda_{i}I)\right)\ge1\).

3. מצד שני, לפי (III), \[V=\text{Null}(T-\lambda_{1}I)\oplus\dots\oplus\text{Null}(T-\lambda_{n}I)\]

לכן לפי המשפט בלינארית 1 המציין כי המימד של סכום ישר הוא סכום המימדים \[n=\underset{\geq1}{\underbrace{\dim(\text{Null}(T-\lambda_{1}I))}}+\dots+\underset{\geq1}{\underbrace{\dim(\text{Null}(T-\lambda_{n}I))}}\]

מכאן, חייב להתקיים \[\forall1\le i\le n:\dim\left(\text{Null}(T-\lambda_{i}I)\right)=1\] 4. קיבלנו ש- \[\forall1\le i\le n:\dim\left(\text{Null}(T-\lambda_{i}I)\right)=\dim\left(\text{Span}(v_{i})\right)\]

אבל תמ”ו המוכל בתמ”ו מאותו מימד שווה לו, לכן \[\forall1\le i\le n:\text{Null}(T-\lambda_{i}I)=\text{Span}(v_{i})\]  ∎

הוכחה. 1. צריך להראות כי \((*)\) מוגדר היטב, כלומר כי \(Q\) הפיכה.

\(\check{v}_{1},\dots,\check{v}_{n}\) הם וקטורים עצמיים השייכים לערכים עצמיים שונים זה מזה של ההעתקה הלינארית \(T_{A}\).

מכאן \(\check{v}_{1},\dots,\check{v}_{n}\) בלתי תלויים לינארית לכן העמודות של \(Q\) בת”ל, אז \(Q\) הפיכה ו-\(Q^{-1}\) קיימת.

2. \((*)\) שקולה למשוואה \[(**)\quad AQ=Q\begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0_{\mathbb{F}} & \cdots & 0_{\mathbb{F}}\\ 0_{\mathbb{F}} & \lambda_{2} & \cdots & 0_{\mathbb{F}}\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} & 0_{\mathbb{F}} & \cdots & \lambda_{n} \end{pmatrix}\] (מכפילים את שני האגפים ב-\(Q\) מימין, ו-\(Q^{-1}Q\) מצטמצם)

3. נחשב: \[\begin{aligned} AQ & =A\begin{pmatrix}\check{v}_{1} & \dots & \check{v}_{n}\end{pmatrix}\underset{(1)}{=}\begin{pmatrix}A\check{v}_{1} & \dots & A\check{v}_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_{1}\check{v}_{1} & \dots & \lambda_{n}\check{v}_{n}\end{pmatrix}\\ & =\underset{Q}{\underbrace{\begin{pmatrix}\check{v}_{1} & \cdots & \check{v}_{n}\end{pmatrix}}}\begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0_{\mathbb{F}} & \dots & 0_{\mathbb{F}}\\ 0_{\mathbb{F}} & \lambda_{2} & \dots & 0_{\mathbb{F}}\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0_{\mathbb{F}} & 0_{\mathbb{F}} & \dots & \lambda_{n} \end{pmatrix} \end{aligned}\] \((1)\) כפל מטריצה במטריצה הוא כפל בכל עמודה ועמודה.

קיבלנו בדיוק את \((**)\), כנדרש. ∎

הוכחה. (I) \(\iff\) (II)

נסמן \[M(T,\mathcal{B}_{V},\mathcal{B}_{V})=\begin{pmatrix}a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,n} \end{pmatrix}\] לפי הגדרת המטריצה המייצגת, \[T(v_{j})=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i,j}\cdot v_{i}\right)\] לכן, לפי משפט יחידות ההצגה לפי בסיס, \[\begin{aligned} T(v_{1})=\sum_{i=1}^{n}a_{i,1}v_{i}=a_{1,1}v_{1} & \iff T(v_{1})\in\text{Span}(v_{1})\\ T(v_{2})=\sum_{i=1}^{n}a_{i,2}v_{i}=a_{1,2}v_{1}+a_{2,2}v_{2} & \iff T(v_{2})\in\text{Span}(v_{1},v_{2})\\ & \vdots\\ T(v_{j})=a_{1,j}v_{1}+\dots+a_{j,j}v_{j} & \iff T(v_{j})\in\text{Span}(v_{1},\dots,v_{j}) \end{aligned}\] באגף שמאל: \(a_{i,j}=0_{\mathbb{F}}\) לכל \(i>j\), כלומר המטריצה משולשית עליונה: תנאי (I).

באגף ימין: תנאי (II).

(II) \(\Leftarrow\) (III)

1. יהי \(u\in\text{Span}(v_{1},\dots,v_{j})\). אז קיימים \(d_{1},\dots,d_{j}\) כך ש- \[u=d_{1}v_{1}+\dots+d_{j}v_{j}\implies T(u)=d_{1}T(v_{1})+\dots+d_{j}T(v_{j})\]

2. אבל לפי (II), \[\begin{aligned} T(v_{1})\in\text{Span}(v_{1}) & \subseteq\text{Span}(v_{1},\dots,v_{j})\\ & \vdots\\ T(v_{j})\in\ & \text{Span}(v_{1},\dots,v_{j}) \end{aligned}\] \(\Leftarrow\) \(T(u)\in\text{Span}(v_{1},\dots,v_{j})\), כלומר \(U_{j}\) שמור תחת \(T\).

(III) \(\Leftarrow\) (II)

1. נניח כי \[\forall1\le j\le n:U_{j}=\text{Span}(v_{1},\dots,v_{j})\] הוא תמ”ו שמור תחת \(T\).

יהי \(1\le j\le n\). באופן טריוויאלי, \[v_{j}\in\text{Span}\left(v_{1},\dots,v_{j}\right)=U_{j}\] אבל \(U_{j}\) שמור תחת \(T\) לכן \(T(v_{j})\in U_{j}\).

כלומר \(T(v_{j})\in\text{Span}\left(v_{1},\dots,v_{j}\right)\) כנדרש. ∎

הוכחה. נוכיח באינדוקציה (חזקה) על \(n=\dim V\).

1) עבור \(n=1\):

\[\mathcal{B}_{V}=\left(v_{1}\right)\] \[\therefore\exists a_{1,1}\in\mathbb{F}=\mathbb{C}\text{ s.t. }T(v_{1})=a_{1,1}v_{1}\] \[M(T,\mathcal{B}_{V},\mathcal{B}_{V})=\left(a_{1,1}\right)\] וכל מטריצה \(1\times1\) היא משולשית עליונה, לכן המשפט מתקיים עבור \(n=1\).

2) יהי \(n\geq2\).

נניח כי המשפט מתקיים עבור כל מרחב וקטורי \(\widetilde{V}\) מעל \(\mathbb{C}\) עם \(1\leq\dim\widetilde{V}\leq n-1\), ועבור כל אופרטור לינארי \(\widetilde{T}\in\mathcal{L}(\widetilde{V})\).

נוכיח עבור \(V\) עם \(\dim V=n\).

3. קיים ערך עצמי \(\lambda\) של \(T\) (כי \(V\) הוא מ”ו נ”ס מעל \(\mathbb{C}\), אז לפי המשפט מהרצאה 2).

4. נגדיר \[U\overset{\text{def}}{=}\text{Range}(T-\lambda I)\] \(\lambda\) ערך עצמי, ולכן קיים \(v\neq0_{V}\) עם \(T(v)=\lambda v\), כלומר \((T-\lambda I)(v)=0_{V}\).

\(0_{V}\) גם בגרעין, ולכן \(T-\lambda I\) אינה חח”ע.

מכאן, היא גם לא על, כי אופרטור על מרחב נ”ס הוא חח”ע אם”ם הוא על.

אז \[\dim\text{Range}(T-\lambda I)\leq n-1\] (אילו היה מתקיים \(\dim U=n\), אז \(U=V\) וההעתקה הייתה על, בסתירה).

5. נסתכל על \(T|_{U}\) (הצמצום של \(T\) ל-\(U\)).

א. כדי ש-\(T|_{U}\) יהיה אופרטור על \(U\) (כלומר \(T|_{U}\in\mathcal{L}(U)\)) צריך ש-\(U\) יהיה שמור תחת \(T\).

לכל \(u\in U\) מתקיים: \[T(u)=T\left(u\right)-\lambda u+\lambda u=(T-\lambda I)(u)+\lambda u\] כאשר \[(T-\lambda I)(u)\in\text{Range}(T-\lambda I)=U\] וגם \(\lambda u\in U\) כי \(U\) הוא תמ”ו.מכאן, \(T(u)\in U\).

ב. הנחת האינדוקציה דורשת גם \(\dim U\geq1\).

אם זה לא המקרה, לא נשתמש בה, אלא בנימוק הבא:

אם \(\dim U=0\), אז \(T-\lambda I=0\), כלומר \(T=\lambda I\), ואז בכל בסיס \(M(T,\mathcal{B}_{V},\mathcal{B}_{V})=\lambda I_{n}\), שהיא אלכסונית ובפרט משולשית עליונה. במקרה הזה \(m=0\).

ג. לפי הנחת האינדוקציה (2), קיים בסיס \(\mathcal{B}_{U}=(u_{1},\dots,u_{m})\) של \(U\) כך ש-\(M(T|_{U},\mathcal{B}_{U},\mathcal{B}_{U})\) משולשית עליונה.

לפי למת האפיון, זה אומר כי \[\forall1\le j\le m:T(u_{j})\in\text{Span}(u_{1},\dots,u_{j})\]

6. נשלים את \((u_{1},\dots,u_{m})\) (שהיא בת”ל כבסיס של \(U\) ולכן אפשר להשלים אותה לבסיס של \(V\) לפי משפט ההשלמה מהקורס לינארית 1) לבסיס של \(V\): \[\mathcal{B}_{V}=(\underset{n}{\underbrace{u_{1},\dots,u_{m},v_{1},\dots,v_{k}}})\]

כאשר \(k=n-m\). לכל \(1\le j\le k\) מתקיים: \[T\left(v_{j}\right)=T\left(v_{j}\right)-\lambda v_{j}+\lambda v_{j}=\underset{\in\text{Range}(T-\lambda I)=U}{\underbrace{(T-\lambda I)(v_{j})}}+\lambda v_{j}\] \[\implies T(v_{j})\in\text{Span}(u_{1},\dots,u_{m},v_{j})\subseteq\text{Span}(u_{1},\dots,u_{m},v_{1},\dots,v_{j})\] יחד עם 5, כל וקטור בבסיס \(\mathcal{B}_{V}\) נשלח לספאן של הוקטורים שלפניו (כולל עצמו).

אז שוב לפי למת האפיון, \(M(T,\mathcal{B}_{V},\mathcal{B}_{V})\) משולשית עליונה. ∎