חשבון אינפיניטסימלי 2 - לקט שאלות - שבוע 1

פתרון. על מנת לפתור את הבעיה, נשתמש בכתיב לייבניץ לנגזרת ובמשפט אינטגרציה בהצבה.

נזהה שהאינטגרל הלא מסוים \(\int\frac{1}{x}dx\) הוא קל לחישוב ודומה למבנה האינטגרל הלא מסוים שלנו, על כן נגדיר \[u=3x+4\] בשביל להציב את \(u\) באינטגרל הלא מסוים שלנו, נרצה לחשב את האינטגרל הלא מסוים לפי \(u\) ולא לפי \(x\).

לשם כך, נצטרך לבטא את \(dx\) בעזרת \(du\): \[\frac{du}{dx}=u'=3\] ועל כן \[dx=\frac{1}{3}du\] לכן נוכל לכתוב \[\int\frac{1}{3x+4}dx=\int\frac{1}{u}\ \frac{1}{3}du\underset{\text{linearity}}{=}\frac{1}{3}\int\frac{1}{u}\ du=\frac{1}{3}\ln u+C=\frac{1}{3}\ln\left(3x+4\right)+C\]

פתרון. על מנת לפתור את הבעיה, נשתמש בכתיב לייבניץ לנגזרת ובמשפט אינטגרציה בהצבה.

נזהה שהאינטגרל הלא מסוים \(\int\frac{1}{x^{2}+1}dx\) הוא קל לחישוב ודומה למבנה האינטגרל הלא מסוים שלנו - על כן ננסה “לייצר” אותו.

\[\frac{1}{4x^{2}+12x+10}=\frac{1}{4x^{2}+12x+9+1}=\frac{1}{\left(2x+3\right)^{2}+1}\]

ולכן נגדיר \[u=2x+3\] \[\frac{du}{dx}=2\Rightarrow dx=\frac{1}{2}du\] \[\therefore\int\frac{1}{4x^{2}+12x+10}dx\underset{\text{linearity}}{=}\frac{1}{2}\int\frac{1}{u^{2}+1}\ du=\frac{1}{2}\arctan\left(u\right)+C=\frac{1}{2}\arctan\left(2x+3\right)+C\]

פתרון. נשים לב שמתקיים \[\int\sin x\cos x\ dx=\int\sin x\sin'x\ dx\] נציב \(u=\sin x\) ונקבל \[\frac{du}{dx}=\sin'x\Rightarrow du=\sin'x\ dx\] \[\therefore\int\sin x\sin'x\ dx=\int u\ du=\frac{u^{2}}{2}+C=\frac{\sin^{2}x}{2}+C\]

פתרון. כמו שראינו בשאלה הקודמת, אם נוכל לייצר מבנה שבתוכו יש \(\sin(x)\) והוא מסתיים ב- \(\cos(x)\ dx\) נוכל לבחור \(\sin(x)=u\).

לכן, נרצה להשאיר \(\cos(x)\) אחד, ולהוריד את הדרגה של הפונקציות האחרות. \[\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1\Rightarrow\cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x)\] \[\therefore\int\sin^{6}(x)\cos^{5}(x)\ dx=\int\sin^{6}(x)\cos^{4}(x)\cos(x)\ dx=\int\sin^{6}(x)\left(1-\sin^{2}(x)\right)^{2}\cos(x)\ dx\] נבחר \(u=\sin(x)\) לכן \(du=\cos(x)\ dx\) ונקבל \[=\int u^{6}\left(1-u^{2}\right)^{2}\ du=\int u^{6}\left(1-2u^{2}+u^{4}\right)\ du=\int u^{6}-2u^{8}+u^{10}\ du\] \[\underset{\text{linearity}}{=}\int u^{6}\ du-2\int u^{8}\ du+\int u^{10}\ du=\frac{u^{7}}{7}-\frac{2u^{9}}{9}+\frac{u^{11}}{11}+C\] \[=\frac{\sin(x)^{7}}{7}-\frac{2\sin(x)^{9}}{9}+\frac{\sin(x)^{11}}{11}+C\]

פתרון. נשים לב שמתקיים \[\left(x^{2}\right)^{'}=2x,\quad\left(e^{x}\right)^{'}=e^{x}\]

ולכן ישירות לפי אינטגרציה בהצבה \[\int2xe^{\left(x^{2}\right)}\ dx=\int e^{\left(x^{2}\right)}\cdot\left(x^{2}\right)^{'}\ dx=e^{\left(x^{2}\right)}+C\]

פתרון. זה מבנה שמתאים לאינטגרציה בחלקים: פונקציה שקל לטנגרל \(\left(e^{x}\right)\) כפול פונקציה שקל לגזור \(\left(\sin x\right)\). \[\int e^{x}\sin(x)\ dx=\int\sin(x)\cdot\left(e^{x}\right)^{'}\ dx=\sin(x)\cdot e^{x}-\int\cos(x)\cdot e^{x}\ dx\]

באופן דומה \[\int\cos(x)\cdot e^{x}\ dx=\int\cos(x)\cdot\left(e^{x}\right)'\ dx=\cos(x)\cdot e^{x}-\int-\sin(x)\cdot e^{x}\ dx\]

ובסך הכל קיבלנו \[\int e^{x}\sin(x)\ dx=\sin(x)\cdot e^{x}-\cos(x)\cdot e^{x}-\int\sin(x)\cdot e^{x}\ dx\] \[2\int e^{x}\sin(x)\ dx=\sin(x)\cdot e^{x}-\cos(x)\cdot e^{x}+C\] \[\int e^{x}\sin(x)\ dx=\frac{\sin(x)\cdot e^{x}-\cos(x)\cdot e^{x}}{2}+C\]